第2篇 第2节 函数的单调性与最值 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第2节　函数的单调性与最值 考纲展示 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间D上是增加的 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减少的 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调性的定义 如果函数y=f(x)在定义域内是增加的或减少的,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性. 2.函数的最值 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M∈R 条件 ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M ②存在x0∈I,使得f(x0)=M ①对于任意的x∈I, 都有f(x)≥M ②存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M是f(x)的最大值 M是f(x)的最小值 (1)“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”意义不同,前者指函数具备单调性的“最大”的区间,后者是“最大”区间的子集. (2)①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. ②开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). (3)“对勾函数”y=x+(a>0)的增区间为(-∞,-]和[,+∞);减区间为(-,0)和(0,),且函数y=x+(a>0)是奇函数. (4)若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质: ①当f(x),g(x)都是增(或减)函数时,f(x)+g(x)是增(或减)函数; ②若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反; ③函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反; ④复合函数y=f(g(x))的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记:“同增异减”. (5)增函数与减函数形式的等价变形:∀x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,则 ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a,b]上是增加的; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a,b]上是减少的. 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　) (2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　　) (3)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.(　　) (4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(　　) (5)函数f(x)=log2(3x+1)的最小值是0.(　　) 解析:(2)单调区间不能用并集符号连接,取x1=-1,x2=1,则f(-1)<f(1),故应说成单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞). (3)应对任意的x1<x2,f(x1)<f(x2)成立才可以. (4)若f(x)=x,f(x)在[1,+∞)上为增函数,但y=f(x)的单调递增区间是R. (5)当x→-∞时,f(x)→0,但不等于0,即无最小值. 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　D　) A.f(x)=-x B.f(x)=()x C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析:法一(排除法)　取x1=-1,x2=0,对于A项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以A项不符合题意;对于B项有f(x1)=,f(x2)=1,所以B项不 符合题意;对于C项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以C项不符合题意.故选D. 法二(图像法)　如图,在平面直角坐标系中分别画出A,B,C,D四个选项中函数的大致图像,即可快速直观判断D项符合题意.故选D. 3.设函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增加的,且f(-x)=f(x),则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　A　) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 解析:f(-2)=f(2),f(-3)=f(3). 因为π>3>2,且当x∈[0,+∞)时,f(x)递增, 所以f(π)>f(3)>f(2), 所以f(π)>f(-3)>f