第3篇 第3节 三角恒等变换 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第3节　三角恒等变换 考纲展示 1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆). 1.两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;(S(α+β))  sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;(S(α-β))  cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;(C(α+β))  cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;(C(α-β))  tan(α+β)=;(T(α+β)) tan(α-β)=.(T(α-β)) 2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α;(S2α)  cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(C2α) tan 2α=.(T2α) 3.公式的常见变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).  (2)sin2α=; cos2α=; sin α·cos α=sin 2α.  (3)1+cos α=2cos2; 1-cos α=2sin2; 1+sin α=(sin +cos )2; 1-sin α=(sin -cos )2. (1)“1”的代换:1=sin2α+cos2α,1=2cos2α-cos 2α,1=cos 2α+2sin2α,1=tan . (2)辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+),其中sin =,cos = . 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(　　) (2)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.(　　) (3)存在实数α,使tan 2α=2tan α.(　　) (4)当α是第一象限角时,sin =.(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.(2021·全国乙卷)cos2-cos2等于(　D　) A. B. C. D. 解析:(公式法)　因为cos =sin(-)=sin , 所以cos2-cos2=cos2-sin2=cos(2×)=cos =.故选D. 3.(2020·全国Ⅱ卷)若sin x=-,则cos 2x=　　　　.  解析:因为sin x=-,所以由二倍角公式, 得cos 2x=1-2sin2x=1-2×(-)2=. 答案: 4.sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°=　　　　.  解析:sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58° =sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58° =(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58° =sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77° =sin(58°+77°)=sin 135°=sin(180°-45°) =sin 45°=. 答案: 5.若tan(α-)=,则tan α=　　　　.  解析:因为tan(α-)=, 所以tan α=tan[(α-)+]== =. 答案: 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 考点一　三角函数式的化简 1.化简:. 解:原式= == ==1. 2.化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos 2αcos 2β. 解:原式=·+·-cos 2αcos 2β =+ -cos 2αcos 2β =+cos 2αcos 2β-cos 2αcos 2β=. 3.化简:-2cos(α+β). 解:原式= = = = = =. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等. 考点二　三角函数式的求值问题 角度一　给角求值 [例1] 求值:sin 50°(1+tan 10°). 解:sin 50°(1+tan 10°) =sin 50°(1+tan 60°tan 10°) =sin 50°· =sin 50°· = ===1. 三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的