第3篇 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 考纲展示 1.了解任意角的概念和弧度制的概念,体会引入弧度制的必要性. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.角的有关概念 (1)角的形成 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (3)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 2.弧度制 (1)定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°= rad　②1 rad=()° 弧长公式 弧长l=|α|r 扇形面积公式 S=l·r=|α|·r2 (3)规定 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. 3.任意角的三角函数 (1)定义 设角α终边与单位圆交于P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0). (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦. (3)几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0). 如图中有向线段MP,OM,AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线. 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角.(　　) (2)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30°.(　　) (3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关.(　　) (4)若α为第一象限角,则sin α+cos α>1.(　　) 解析:(1)锐角的取值范围是(0,). (2)顺时针旋转得到的角是负角. (3)角α的三角函数值是一个比值,与点P的位置无关. (4)根据三角函数线与三角形两边之和大于第三边可知sin α+cos α>1. 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.若角θ同时满足sin θ<0,cos θ>0,则角θ的终边一定落在(　D　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由sin θ<0,θ的终边可能位于第三象限或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.cos θ>0,θ的终边可能位于第一象限,也可能位于第四象限,也可能与x轴的非负半轴重合,故θ的终边在第四象限.故选D. 3.(易错题)若点(sin ,cos )在角α的终边上,则sin α的值为(　A　) A.- B.- C. D. 解析:因为角α的终边上一点的坐标为(sin ,cos ),即(,-),所以由任意角的三角函数的定义,可得sin α=-.故选A. 4.已知扇形的圆心角为60°,其弧长为2π,则此扇形的面积为　　　　.  解析:设此扇形的半径为r,由题意得r=2π,所以r=6,所以此扇形的面积为×2π×6=6π. 答案:6π 5.已知角α的终边在直线y=-x上,且cos α<0,则tan α=　　　　.  解析: 如图,由题意知,角α的终边在第二象限,在其上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tan α===-1. 答案:-1 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 考点一　象限角及终边相同的角 1.集合{α|kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析:当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样.故选C. 2.设θ是第三象限角,且|cos |=-cos ,则是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:由θ是第三象限角,知为第二或第四象限角,因为|cos |=-cos ,所以cos ≤0,综上知为第二象限角.故选B. 3.在-720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为　　　　　　　　.  解析:所有与45°终边相同的角可表示为 β=45°+k×360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z), 得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z), 解得-≤k<-(k∈Z), 从而k=-2或k=-1, 代入得β=-675°或β=-315°. 答案:-675°或-315° (1)象限角的判定有两种方法 ①根据图像,其依据是终边相同的角的思想; ②先将此角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与此角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角. (2)由α所在象限,判定所在象限,应先确