第2篇 第9节 函数模型及其应用 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第9节　函数模型及其应用 考纲展示 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　 y=ax (a>1) y=loga x (a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有loga x<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 与指数函数相关模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与对数函数相关模型 f(x)=bloga x+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与幂函数相关模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)解模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下: 　 (1)形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型,“对勾”函数的性质: ①该函数在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减. ②当x>0时,x=时取最小值2,当x<0时,x=-时取最大值-2. (2)函数f(x)=+(a>0,b>0,x>0)在区间(0,)上单调递减,在区间[,+∞)上单调递增. 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(　　) (2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(　　) (3)不存在x0,使<<logax0.(　　) (4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(　　) 解析:(1)中,最终出售的售价为100(1+10%)×=99(元),所以每件赔1元,(1)错误. (2)中,当x=2时,2x=x2=4,(2)错误. (3)中,如a=x0=,n=,不等式成立,因此(3)错误. 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　C　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 解析:由题意知4.9=5+lg V,得lg V=-0.1,得V=1≈0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C. 3.某工厂在2020年底制定生产计划,要使得2030年底的总产值在原有基础上翻两番,则总产值的年平均增长率为(　B　) A.-1 B.-1 C.-1 D.-1 解析:设年平均增长率为p,且2020年底总产值为a,则a(1+p)10=4a,解得p=-1.故选B. 4.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据: x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 下列四个模拟函数中,能近似反映这些数据的规律的是(　D　) A.y=0.58x-0.16 B.y=2x-3.02 C.y=x2-5.5x+8 D.y=log2x 解析:画出散点图如图所示, 由图可知,上述点大体在函数y=log2x的图像上,所以能近似反映这些数据的规律的函数是y=log2x.故选D. 5.(2021·甘肃兰州诊断)英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型:如果物体的初始温度是θ1 ℃,环境温度是θ0 ℃,那么经过t h后物体的温度θ ℃将满足θ=θ0+(θ1-θ0)·e-kt.通过实验观察发现,在20 ℃的室温下,一块从冰箱里取出的-20 ℃的冻肉经过 0.5 h后温度升至0 ℃,在相同的环境下利