第2篇 第8节 函数与方程 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第8节　函数与方程 考纲展示 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 二次函数 y=ax2+ bx+c(a>0) Δ>0 Δ=0 Δ<0 图像 与x轴的 交点 (x1,0), (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 (1)若图像连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点,函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根. (2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分不必要条件. 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数图像与x轴的交点.(　　) (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不间断),则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　　) (4)当x>0时,函数y=2x与y=x2的图像有两个交点.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.函数f(x)=ex-的零点所在的区间是(　B　) A.(0,) B.(,1) C.(1,) D.(,2) 解析:f(x)的零点为正值,且f(x)在(0,+∞)上单调递增. 因为f(1)=e-1>0,f()=-2<-2<0,所以f(1)·f()<0,由零点的存在性定理可知函数f(x)=ex-的零点所在的区间是(,1).故选B. 3.函数f(x)=ex+3x的零点个数是(　B　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:f(x)=ex+3x在R上单调递增. 因为f(-1)=-3<0,f(0)=1>0, 所以f(-1)·f(0)<0,所以函数f(x)有唯一零点,且零点在(-1,0)内.故选B. 4.函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　B　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,得sin x=0或cos x=1, 因为x∈[0,2π], 所以x=0,π或2π. 所以f(x)在[0,2π]的零点个数是3.故选B. 5.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为　　　　. 解析:令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m.由题意知函数f(x)的图像与直线y=m有三个不同的交点,如图所示. 由图可知,当-<m<0时,满足题意. 故实数m的取值范围为(-,0). 答案:(-,0) 考点一　函数零点及其零点所在区间的判断 [例1] (1)下列函数在其定义域内,既是奇函数又存在零点的是(　　) A.f(x)=ex-1 B.f(x)=x+ C.f(x)=-x D.f(x)=-x2 (2)(2021·陕西商洛模拟)设函数y=x2与y=()x-2的图像交点为(x0,y0),则x0所在区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:(1)对于A,函数f(x)=ex-1是非奇非偶函数,排除A; 对于B,函数f(x)=x+是奇函数,但方程f(x)=0无解,故函数f(x)不存在零点,排除B; 对于C,函数f(x)=-x是奇函数,且由f(x)=0,即-x=0,得x=±,函数f(x)存在零点,故C正确; 对于D,函数f(x)=-x2是非奇非偶函数,排除D.故选C. (2)由题意知,x0是方程x2=()x-2的解,即x0是函数f(x)=x2-()x-2的零点, 因为f(2)=22-1=3>0,f(1)=1-2=-1<0, 所以f(1)·f(2)<0. 由零点存在性定理可知,函数f(x)的零点x0在(1,2)内,即函数y=x2与y=()x-2的图像交点的横坐标x0所在区间是(1,2).故选B. 判断函数零点(方程的根)所在区间的方法 (1)解方程法:当对应方程易解时,可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上. (2)定理法:利用零点存在性定理进行判断. (3)数形结合法:画出相应的函数图像,