第2篇 第6节 对数与对数函数 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第6节　对数与对数函数 考纲展示 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函数的图像. 3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数. 1.对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质:①=N; ②logaab=b(a>0,且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R); (3)换底公式:logbN=(a,b均大于零,且不等于1). 3.对数函数 (1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量. (2)对数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 当x=1时,y=0,即过定点(1,0) 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 4.指数函数与对数函数的关系 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称. (1)换底公式的两个重要结论 ①logab=;②lobn=logab. 其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1, m,n∈R且m≠0. (2)在第一象限内,不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大. (3)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),(,-1),函数图像只在第一、第四象限. 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)logax2=2logax.(　　) (2)函数y=log2x与y=lo(2x)都是对数函数.(　　) (3)loga(b+c)=logab·logac.(　　) (4)若logam<logan,则m<n.(　　) (5)函数f(x)=lg 与g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数.(　　) 解析:(1)错,logax2=2loga|x|. (2)错,y=lo(2x)不符合对数函数的定义. (3)错,如log2(2+2)=log24=2≠log22·log22=1. (4)错,当a>1时成立,当0<a<1时,m>n. (5)错,f(x)的定义域为{x|x<-2或x>2},而g(x)的定义域为{x|x>2}. 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.函数y=的定义域是(　D　) A.(0,1] B.(,+∞) C.(,2) D.(,1] 解析:要使函数有意义,需满足 由①得x>,由②得lo(4x-3)≥lo1, 即x≤1,故定义域为{x}.故选D. 3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于(　A　) A.log2x B. C.log0.5x D.2x-2 解析:由题意知f(x)=logax(a>0,且a≠1). 因为f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2. 所以f(x)=log2x.故选A. 4.(2020·全国 Ⅰ 卷)设alog34=2,则4-a等于(　B　) A. B. C. D. 解析:法一　因为alog34=2,所以log34a=2, 则有4a=32=9,所以4-a==.故选B. 法二　因为alog34=2,所以-alog34=-2, 所以log34-a=-2, 所以4-a=3-2==.故选B. 法三　因为alog34=2,所以==log43,所以=3, 两边同时平方得4a=9, 所以4-a==.故选B. 法四　因为alog34=2,所以a===log49, 所以4-a==.故选B. 法五　令4-a=t,两边同时取对数得log34-a=log3t, 即alog34=-log3t=log3, 因为alog34=2,所以log3=2,所以=32=9, 所以t=,即4-a=.故选B. 法六　令4-a=t,所以-a=log4t, 即a=-log4t=log4. 由alog34=2,得a===log49, 所以log4 =log49, 所以=9,t=,即4-a=.故选B. 5.-6-lg 0.001+ln