第1章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 -2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词. (2)命题p∧q,p∨q,﹁p的真假判断 p q p∧q p∨q ﹁p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p∨q:p,q中有一个为真,则p∨q为真,即有真即真. (2)p∧q:p,q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假. (3)﹁p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反. 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“∀”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“∃”表示. 3.全称命题和特称命题 　　名称 形式　　 全称命题 特称命题 结构 对M中任意一个x,有p(x)成立 存在M中的元素x0,使p(x0)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,p(x0) 否定 ∃x0∈M,﹁p(x0) ∀x∈M,﹁p(x) 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论. (1)含逻辑联结词的命题真假的五种等价关系 ①p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假; ②p∨q假⇔p,q均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真; ③p∧q真⇔p,q均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假; ④p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真; ⑤﹁p真⇔p假;﹁p假⇔p真. (2)“p∨q”的否定是“(﹁p)∧(﹁q)”,“p∧q”的否定是“(﹁p)∨(﹁q)”. 1.命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是(　B　) A.∃x0∈R,+x0≤0 B.∃x0∈R,+x0<0 C.∀x∈R,x2+x≤0 D.∀x∈R,x2+x<0 解析:由全称命题的否定是特称命题知B正确.故选B. 2.已知p:2是偶数,q:2是质数,则命题﹁p,﹁q,p∨q,p∧q中真命题的个数为(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:p和q显然都是真命题,所以﹁p,﹁q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.故选B. 3.已知命题p,q,“﹁p为真”是“p∧q为假”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由﹁p为真知p为假,可得p∧q为假;反之,若p∧q为假,则可能是p真q假,从而﹁p为假,故“﹁p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.故选A. 4.若“∀x∈,m≤tan x+2”为真命题,则实数m的最大值为　　　　.  解析:由x∈,所以1≤tan x+2≤2+. 因为“∀x∈,m≤tan x+2”为真命题,则m≤1.所以实数m的最大值为1. 答案:1 5.已知命题p:∀x∈R,x2-a≥0;命题q:∃x0∈R,+2ax0+2-a=0.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:由题意可知p和q均为真命题,由命题p为真得a≤0,由命题q为真得Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≤-2或a≥1,所以a≤-2. 答案:(-∞,-2] 含有逻辑联结词的命题的真假判断 1.(2021·全国乙卷)已知命题p:∃x∈R,sin x<1;命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是(　A　) A.p∧q B.﹁p∧q C.p∧﹁q D.﹁(p∨q) 解析:由正弦函数的图像及性质可知,存在x∈R,使得sin x<1,所以命题p为真命题.对任意的x∈R,均有e|x|≥e0=1成立,故命题q为真命题,所以命题p∧q为真命题.故选A. 2.设a,b,c是非零向量.已知命题p: 若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中的真命题是(　A　) A.p∨q B.p∧q C.(﹁p)∧(﹁q) D.p∧(﹁q) 解析:取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0, 所以p是假命题. 又a,b,c是非零向量, 由a∥b知a=xb(x∈R), 由b∥c知b=yc(y∈R), 所以a=xyc,所以a∥c,所以q是真命题. 综上可知,p∨q是真命题,p∧q是假命题. ﹁p为真命题,﹁q为假命题. 所以(﹁p)∧(﹁q),p∧(﹁q)都是假命题.故选A. 3.已知命题p:若平面α⊥平面β,平面γ⊥平面β,则有平面