第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件 -2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件 1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. 1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作命题,其中判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 充分、必要条件与集合之间的关系,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. (3)若A=B,则p是q的充要条件. 1.命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是(　A　) A.若a≤b,则a+c≤b+c B.若a+c≤b+c,则a≤b C.若a+c>b+c,则a>b D.若a>b,则a+c≤b+c 解析:否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A. 2.设x∈R,则“x>1”是“|x|>1”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当x>1时一定能够得到“|x|>1”,但是|x|>1却不一定得到x>1,也可以是x<-1.故选A. 3.原命题为“△ABC中,若cos A<0,则△ABC为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(　B　) A.真、真、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.真、假、假 解析:因为cos A<0,0<A<π,所以A为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故原命题为真,从而其逆否命题也为真;当△ABC为钝角三角形时,可能是B或C为钝角,而A为锐角,cos A>0,故其逆命题为假,从而其否命题也为假.故选B. 4.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为　　　　.  解析:因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3. 又p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8. 故实数m的取值范围为[3,8). 答案:[3,8) 命题及其关系 1.命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是(　D　) A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1 B.若-1<x<1,则x2<1 C.若x>1或x<-1,则x2>1 D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1 解析:逆否命题是将原命题的条件和结论交换并加以否定,所以题中原命题的逆否命题是“若x≥1或x≤-1,则 x2≥1”.故选D. 2.原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(　B　) A.真、假、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假 解析:由共轭复数的性质可知,|z1|=|z2|,所以原命题为真,因此其逆否命题为真;取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,所以其逆命题为假,故其否命题也为假.故选B. 3.有下列命题: ①“若a2<b2,则a<b”的否命题; ②“全等三角形面积相等”的逆命题; ③“若a>1,则ax2-2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题; ④“若x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题. 其中正确命题的序号是(　D　) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 解析:对于①,否命题为“若a2≥b2,则a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,是假命题;对于③,当a>1时,Δ=-12a<0,原命题正确,从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,因此该命题的逆否命题也正确,④正确.所以正确命题的序号是③④.故选D. (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写. ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)①判断一个命题为真命题,要给出推理证明,判断一个命题是假命题,只需举出反例. ②根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不容易时,可间接判断. 充分必要条件的综合应用 　充分、必要条件的判断 (1)(2021·黑