第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 -2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第1节　任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 2.弧度制 (1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad,1 rad=()°. (3)扇形的弧长公式:l=|α|·r,扇形的面积公式:S=lr=|α|·r2. 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0). (2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线. 1.三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.角-860°的终边所在的象限是(　C　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:-860°=-2×360°-140°,-860°和-140°的终边相同,故-860°的终边在第三象限.故选C. 2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　C　) A.2kπ-45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z) 解析:与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有C正确.故选C. 3.若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定落在(　D　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　　　 D.第四象限 解析:由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合;由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二或第四象限.故θ的终边只能位于第四象限.故选D. 4.已知角α的终边与单位圆的交点为M(,y),则sin α等于(　B　) A. B.± C. D.± 解析:由题意知r2=()2+y2=1,所以y=±.由三角函数的定义知sin α=y=±.故选B. 5.角-225°=　　　　弧度,这个角在第　　　　象限.  答案:-　二 6.已知半径为120 mm的圆上,有一条弧长是144 mm,则该弧所对的圆心角的弧度数为　　　　 rad.  解析:由题意知α== rad=1.2 rad. 答案:1.2 象限角及终边相同的角 1.若角α是第二象限角,则是(　C　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 解析:因为α是第二象限角, 所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, 所以+kπ<<+kπ,k∈Z. 当k为偶数时,是第一象限角; 当k为奇数时,是第三象限角. 综上,是第一或第三象限角.故选C. 2.-2 021°角是第　　　　象限角,与-2 021°角终边相同的最小正角是　　　　,最大负角是　　　　.  解析:因为-2 021°=-6×360°+139°,所以-2 021°角的终边与139°角的终边相同.所以-2 021°角是第二象限角,与-2 021°角终边相同的最小正角是139°.又139°-360°=-221°,故与-2 021°角终边相同的最大负角是-221°. 答案:二　139°　-221° 3.终边在直线y=x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为　　　　.  解析:如图,在平面直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个:,;在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-,-,故满足条件的角α构成的集合为{-,-,,}. 答案:{-,-,,} 4.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角α的集合用弧度制可表示为　　　　.  解析:在[0,2π)内,终边落在阴影部分角的集合为(,), 所以所求角的集合为{α}. 答案:{α} 1.象限角的判定有两种方法: (1)图像法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象