第2章 第6节 对数与对数函数 -2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第6节　对数与对数函数 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 1.对数 概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=logaN.其中a叫作对数的底数,N叫作真数 性质 底数的限制a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:ax=N⇔logaN=x 负数和零没有对数 1的对数是零:loga1=0 底数的对数是1:logaa=1 对数恒等式:=N 运算 性质 loga(M·N)=logaM+logaN a>0,且a≠1, M>0,N>0 loga=logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R) 换底 公式 公式:logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 推广:lobn=logab(a>0,且a≠1,b>0); logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1) 2.对数函数的概念、图像与性质 概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 3.指数函数与对数函数的关系 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称. 1.换底公式及其推论 (1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1); (2)lobn=logab; (3)logab·logbc·logcd=logad. 2.对数函数的图像与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数, 故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 1.log63·log96等于(　D　) A. B.3 C.2 D. 解析:log63·log96=log63·log36=.故选D. 2.函数f(x)=的定义域是(　D　) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 解析:要使函数f(x)=有意义,只需即解得x≥2,所以函数f(x)的定义域为[2,+∞).故选D. 3.已知函数f(x)=2x的图像与函数y=g(x)的图像关于直线y=x对称,则g()的值为(　A　) A.-1 B.1 C.12 D.2 解析:法一　由y=f(x)=2x,得x=log2y,所以函数f(x)的反函数为g(x)=log2x, 则g()=log2=-1.故选A. 法二　设g()=t0,则函数y=g(x)过点(,t0),由于函数f(x)=2x的反函数为y=g(x),因此有=,故t0=-1.故选A. 4.化简2lg 5+lg 4-的结果为(　A　) A.0 B.2 C.4 D.6 解析:因为2lg 5+lg 4=2lg 5+2lg 2=2(lg 5+lg 2)=2. 又=2, 所以2lg 5+lg 4-=2-2=0.故选A. 5.若函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),请写出一个满足条件的函数解析式:　　　　　　.  解析:由函数满足f(xy)=f(x)+f(y)可知,函数是对数函数,且是增函数,因此只要是满足底数大于1的对数函数即可. 答案:f(x)=log3x(答案不唯一,只要底数大于1即可) 对数式的化简与求值 1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a等于(　B　) A. B. C. D. 解析:法一　因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a==.故选B. 法二　因为alog34=2,所以-alog34=-2,所以log34-a=-2,所以4-a=3-2==.故选B. 法三　因为alog34=2,所以==log43,所以=3,两边同时平方得4a=9,所以4-a==.故选B. 法四　因为alog34=2,所以a===log49,所以4-a==.故选B. 法五　令4-a=t(t>0),两边同时取对数得log34-a=log3t,即alog34=-log3t=log3.因为alog34=2,所以log3=2,所以=32=9,所以t=,即4-a=.故选B. 法六　令4-a=t(t>0),所以-a=log4t,即a=-log4t=log4.