第2章 第5节 指数与指数函数 -2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第5节　指数与指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解分数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图像. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 1.分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂的表示:=(a>0,m,n∈N+,且n>1). (2)正数的负分数指数幂的表示:=(a>0,m,n∈N+,且n>1). (3)0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 2.实数指数幂的性质 (1)am·an=am+n. (2)(am)n=am n. (3)(ab)n=anbn. (a>0,b>0) 3.指数函数 (1)指数函数的概念 ①解析式:y=ax(a>0且a≠1); ②自变量:x; ③定义域:R. (2)指数函数的图像和性质 解析式 y=ax(a>0,且a≠1) 参数分类 0<a<1 a>1 图像 图像 特征 在x轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图像逐渐下降呈“捺”状 当x逐渐增大时,图像逐渐上升呈“撇”状 定义域 R 值域 (0,+∞) 单调性 递减 递增 函数 值变 化规律 当x=0时,y=1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 当x<0时,0<y<1; 当x>0时,y>1 1.指数函数图像的对称规律 函数y=ax的图像与y=a-x的图像关于y轴对称,y=ax的图像与y=-ax的图像关于x轴对称,y=ax的图像与y=-a-x的图像关于坐标原点对称. 2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图像越高. 1.指数函数y=f(x)的图像过点(2,4),则f(3)的值为(　B　) A.4 B.8 C.16 D.1 解析:设函数的解析式为f(x)=ax(a>0,a≠1),又由函数的图像过点(2,4),则a2=4,解得a=2,即f(x)=2x,所以f(3)=23=8.故选B. 2.某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　B　) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N) C.y=a(1+xp%)(0<x<m) D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N) 解析:设年产量经过x年增加到y件,则第一年为y=a(1+p%),第二年为y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年为y=a(1+p%)(1+p%)·(1+p%)=a(1+p%)3,…,则y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).故选B. 3.已知0<m<n<1,则指数函数①y=mx;②y=nx的图像是(　C　) 解析:由0<m<n<1可知两曲线应为递减的曲线,故排除A,B,再由n>m可知应选C. 4.(2)0+2-2×(2)-(0.01等于(　A　) A. B.3 C.-8 D.0 解析:(2)0+2-2×(2)-(0.01=1+×-=.故选A. 5.写出一个在定义域R上满足f(x+y)=f(x)f(y),且是增函数的一个函数:　　　　　　.  解析:满足性质f(x+y)=f(x)f(y)的函数是一个指数函数,要使指数函数是增函数,则只需要底数a>1即可. 答案:f(x)=2x(答案不唯一,只要是底数a>1的指数函数即可) 指数幂的运算 1.当a>0时,等于(　C　) A.x B.x C.-x D.-x 解析:由成立可知-ax3≥0,结合a>0得x3≤0,即x≤0,因此==·=·|x|=-x.故选C. 2.已知函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是(　C　) A.14 B.13 C.12 D.11 解析:由题意,函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,可得a+=3,又f(2)=a2+a-2=(a+)2-2=7,f(0)=1+1=2,所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12.故选C. 3.化简÷()的值为　　　　.  解析:原式=÷() =÷() =÷() =÷(ab) == 答案: 4.计算:(-)+0.00-10(-2)-1+π0=　　　　.  解析:原式=(-)-2+50-+1=+10-10-20+1=-. 答案:- 1.根式的化简问题要注意指数幂中当指数为负数时,可把底数变为其倒数,从而指数化为正数. 2.指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分