课后提升练(七) 用空间向量研究空间角问题（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课后提升练(七)　用空间向量研究空间角问题 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为(　　) A． B． C． D． A　解析：设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系， 则平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2，1，1)，＝(2，0，0)，设A1B1与截面A1ECF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝||＝，cos θ＝，∴tan θ＝. 2．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D-AB-E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　) A．1 B． C． D． C　解析：不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，∴|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝. 3．(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AB与CD所成的角为60° C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成的角为60° ABC　解析：A中，如图，取BD的中点O，连接AO，CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确．B中，如图建立空间直角坐标系， 设正方形边长为a，则A(a，0，0)，B(0，－a，0)，C(0，0，a)，D(0，a，0)，故＝(－a，－a，0)，＝(0, a，－a)，由两向量夹角公式得cos〈，〉＝－，故两异面直线所成的角为，故B正确．C中，在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a解得AC＝AO＝a，所以三角形ADC为等边三角形，故C正确．D中，易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D错误． 4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为__________． 答案： 解析：建立坐标系如图，则B(1，1，0)，O(，，1)，＝(1，0，1)是平面ABC1D1的一个法向量． 又＝(，，－1)，∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为＝＝. 5．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为__________． 答案： 解析：由题意得＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)． 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量为＝(0，0，3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为＝. 6．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1. (1)求SC与平面ASD所成角的余弦值； (2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， S(0，0，2)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，＝(2，2，－2)， ∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一个法向量为＝(0，2，0)，设SC与平面ASD所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝， 故cos θ＝，即SC与平面ASD所成角的余弦值为. (2)平面SAB的一个法向量为m＝(1，0，0)， ∵＝(2，2，－2)，＝(1，0，－2)，设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由得令z＝1可得平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)， 显然，平面SAB和平面SCD所成角为锐角，不妨设为α，则cos α＝＝， 即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为. 7．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C-BF-D的正切值为(　　) A． B． C． D． D　解析：设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，0)． ∴＝(0，，0)，且为平面BDF的一个法向量．由＝(－，，0)，＝(，0，－)可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)， ∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝. ∴tan〈n，〉＝. 8．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则平面ACD与平面BCD的夹角为__________． 答案：60° 解析：取CD中点E，连接A