课后提升练(五) 用空间向量研究直线、平面的位置关系（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课后提升练(五)　用空间向量研究直线、平面的位置关系 1．(多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中成立的是(　　) A．·＝0 B．·＝0 C．·＝0 D．·＝0 ABD　解析：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立． 2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 D　解析：∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内． 3．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则下列结论中正确的是(　　) A．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) B．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D．平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1) AC　解析：∵＝(0，1，0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1，0，0)，而(1，1，1)·＝－1≠0，∴(1，1，1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；∵＝(0，1，－1)，＝(－1，0，1)，(1，1，1)·＝0，(1，1，1)·＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；∵＝(0，1，1)，而·(0，1，1)＝2≠0， ∴(0，1，1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正确． 4．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则(　　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l1与l2不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 A　解析：∵a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3. 5．(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等，则下列结论中正确的是(　　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 ACD　解析：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋， ∴∥，从而A1M∥D1P，可得ACD正确．又B1Q与D1P不平行，故B不正确． 6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝__________． 答案：3 解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.∴(1，3，z)·(3，－2，1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3. 7．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________，＝__________．(用向量，表示) 答案：11　－4＋ 解析：＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，＝(x－4，－2，0)，由题意知A，B，C，P四点共面，∴＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．∴∴而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11，＝－4＋. 8．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是__________． 答案：－3 解析： ∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，∴(2，m，1)＝x(1，0，－1)＋y(0，1，－1)＝(x，y，－x－y)，∴∴m＝－3. 9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系． 设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别是(，，0)，(0，0，1)， ∴＝(－，－，1)． 又点A，M的坐标分别是(，，0)，(，，1)， ∴＝(－，－，1)． ∴＝，且NE与AM不共线．∴NE∥AM. 又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝(－，－，1)． ∵D(，0, 0)，F(，，1)，B(0，，0)， ∴＝(0，，1)，＝(，0，1)． ∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥. 又DF∩BF＝F，DF，BF⊂平面BD