课后提升练(六) 用空间向量研究距离问题（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课后提升练(六)　用空间向量研究距离问题 1．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　解析：因为＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则在上的投影为＝＝－4.又||＝，所以AC边上的高BD的长为＝5. 2．如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为(　　) A． B． C． D．2 B　解析：取AB的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，2).＝(0，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2)． 设平面ACE的法向量n＝(x, y, z)，则即 令y＝1，则n＝(－1, 1, －1)，故点D到平面ACE的距离为d＝＝||＝. 3．(多选)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有(　　) A． B． C．3 D．2 ABCD　解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，所以＝(－3，－3，3)，因为＝＝(－1，－1，1)，所以＝＋(－1，－1，1)＝(2，2，1)．所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝＝，|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝＝3，|PB|＝，|PD1|＝＝2.故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2. 4．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为__________． 答案： 解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)．设平面PBC的一个法向量为n＝(a，b，c)，则即取a＝1，得n＝(1，0，1)，又＝(2，0，0)，所以d＝＝. 5．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，AEC1F为平行四边形． (1)求BF的长． (2)求点C到平面AEC1F的距离． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z)．因为四边形AEC1F为平行四边形，所以由＝得，(－2，0，z)＝(－2，0，2)，所以z＝2. 所以F(0，0，2)．所以＝(－2，－4，2)． 于是||＝2，即BF的长为2. (2)设平面AEC1F的法向量为n＝(x, y, z)， 所以 即令z＝1，所以得n＝(1，－，1)． 又＝(0，0，3)，设与n的夹角为α， 则cos α＝＝＝. 所以C到平面AEC1F的距离为d＝||·cos α＝3×＝. 6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A． B． C． D． B　解析：以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立坐标系Bxyz，则＝(2，0，0)，＝(1，0，2)，∴cos〈，〉＝＝＝，∴sin〈，〉＝. ∴点A到直线BE的距离d＝|AB|sin〈，〉＝. 7．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 解：建立以点D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示． 则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，，0)，F(，1，0)．所以＝(－，，0)，＝(1，，－1)，＝(1，，0)，设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)． 所以点D到平面PEF的距离d＝＝＝. (2)直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离．因为＝(0，，0)，所以点A到平面PEF的距离d′＝＝＝，所以直线AC到平面PEF的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $