课后提升练(二) 空间向量的数量积运算（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课后提升练(二)　空间向量的数量积运算 1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 C　解析：·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a×a×＋a×a×)＝a2. 2．(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 BCD　解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，故D正确； 又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，故BCD正确． 3．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 C　解析：因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以||＝12. 4．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝__________． 答案：0 解析：原式＝·＋·＋·(－)＝·(－)＋·(＋)＝·＋·＝0. 5．如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC； (2)求|＋|的值． (1)证明：∵＝＋， ∴·＝(＋)·＝·＋·＝||||cos 60°＋||||·cos 120°＝a2－a2＝0，∴BD⊥PC. (2)∵＋＝＋＋， ∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2， ∴|＋|＝a. 6．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题正确的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B．·(－)＝0 C．与的夹角为60° D．正方体的体积为|··| AB　解析：如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||·||·||.综上可知，AB正确． 7．四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则点B与点D1之间的距离为________． 答案： 解析：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2，∴||＝，∴点B与点D1两点间的距离为. 8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________． 答案：60°　1 解析：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·(＋)＝2＝1.由题意可得||＝||＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°. 9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离． 解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0，同理可得·＝0. ∵AB与CD成60°角， ∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°. 又＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉． ∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2； 当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $