课后巩固(二)空间向量的数量积运算（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

[对应学生用书P89] 1．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中正确的有(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|＝ C.a2b＝b2a D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 BD　[由于数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质知B正确；C中，|a|2b＝|b|2a一定不成立；D运算正确．] 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1，则·AD1等于(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．　　　 D．－1 3．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 C　[因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以||＝12.] 4．(多选题)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列四个命题中，正确的是(　　) AB　 故A正确； 故B正确；夹角的补角，而与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为 故D错误．综上可知，A，B正确．] 5．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 B　[·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2＞0，同理，可证·＞0，·＞0.所以△BCD的每个内角均为锐角，故△BCD是锐角三角形．] 6．(多空题)如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|－|＝________，与的夹角为________． 　90°　[＝，·＝2×2×cos 60°＝2， 故|－|2＝＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3.故|－|＝. 又因为＝＝(－)，故·＝·(－)＝(·－·)＝0，0°≤〈，〉≤180°，所以〈，〉＝90°.] 7．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________． 90°　[不妨设棱长为2， ＝0， 故填90°.] 8．如图，在60°的二面角α­l­β的棱上有两点A，B，点C，D分别在α，β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________． 　[由条件知＝＋＋，且〈，〉＝120°，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋12＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2，所以||＝.] 9．已知a，b都是非零向量，且向量a＋3b与7a－5b垂直，向量a－4b与7a－2b垂直，求向量a与b的夹角． 解　由题意得 即两式相减得46a·b－23b2＝0， ∴b2＝2a·b，代入7a2＋16a·b－15b2＝0，得a2＝2a·b， ∴a2＝b2＝2a·b. 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. ∵0°≤θ≤180°， ∴向量a与b的夹角为60°. 10．已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，那么|p|的取值范围为(　　) A．[0，1] B．[1，2] C．[0，3] D．[1，3] C　[∵|p|2＝(＋＋)2＝3＋2(＋＋)≤3＋2×3＝9，∴0≤|p|≤3.] 11.如图，在正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么(　　) A．·<· B．·＝· C．·>· D．·与·不能比较大小 C　[∵·＝(＋)·(－) ＝(||2－||2)＝0， ·＝(＋)· ＝·(－)＋· ＝||·||·cos 120°－||·||cos 120°＋||·||cos 120°<0，∴·>·.] 12．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________． 　[由已知得·＝·＝·＝0，且＝，故·(＋＋)＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝(1＋4＋9)＝.] 13．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1， 求证：AB1⊥BC1； (2) 求侧棱的长． ∵△ABC为正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ＝2，即侧棱长为2. 学科网（北京）股份有限公司 $