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模块复习课(一)
集合与逻辑
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模块复习课(一) 集合与逻辑
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eq \a\vs4\al(一、充分、必要条件的判定)
条件的充要关系的常用判定方法
(1)定义法:直接判断若p则q,若q则p的真假.
(2)利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
[训练1] 已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C [∵a>0且b>0⇔a+b>0且ab>0,
∴“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.]
[训练2] 设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [当四边形ABCD为菱形时,其对角线互相垂直,必有AC⊥BD;但当AC⊥BD时,四边形不一定是菱形,因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.]
[训练3] 对于集合A,B及元素x,若A⊆B,则x∈B是x∈(A∪B)的________条件.
充要 [由x∈B,显然可得x∈(A∪B);反之,由A⊆B,得A∪B=B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件.]
eq \a\vs4\al(二、利用充分、必要条件求参数值或范围)
解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
[训练4] 已知α:x≥a,β:|x-1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.
(-∞,0] [α:x≥a,可看作集合A={x|x≥a},
由|x-1|<1,得0<x<2,∴β可看作集合B={x|0<x<2}.又∵α是β的必要不充分条件,∴BA,∴a≤0.]
[训练5] 若“x<-1或x>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大值是多少?
解 ∵“x<-1或x>1”是“x<a”的必要不充分条件,
∴x<a⇒ x<-1或x>1,但x<-1或x>1/⇒x<A.
如图所示,∴a≤-1.∴a的最大值为-1.
eq \a\vs4\al(三、全称命题与特称命题的真假判断)
全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出反例.
(2)判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题时,要有严格的逻辑证明.
[训练6] 指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假.
(1)∀x∈N,2x+1是奇数;
(2)存在一个x∈R,使 eq \f(1,x-1) =0;
(3)能被5整除的整数末位数是0.
解 (1)是全称命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,是真命题.
(2)是特称命题.因为不存在x∈R,使 eq \f(1,x-1) =0成立,是假命题.
(3)是全称命题.因为25能被5整除,但末位数不是0,是假命题.
eq \a\vs4\al(四、全称命题和特称命题的否定)
含有一个量词的命题的否定的求法.
(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存