4.1.1实数指数幂及其运算-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步知识梳理+常考题型（人教B版2019必修第二册）

4.1.1实数指数幂及其运算 题型1 根式的概念 3 题型2 根式与分数指数幂的互化 4 ◆类型1 分数指数幂转化成根式 5 ◆类型2 根式转化成分数指数幂 5 题型3 化简运算 6 题型4 条件求值问题 15 题型5 多重根式的化简 20 题型6 比较大小 21 题型7 大题汇总 22 知识点一. 有理指数幂 1.一般地，an中的a称为底数，n称为指数. 2.一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn=a，则x称为a的n 次方根. 注意：①0的任意正整数次方根均为0，记为=0. ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为， 负的方根记为-；负数的偶数次方根在实数范围内不存在. ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为.而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的 奇数次方根是一个负数. 3.当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数. 注意：根式具有以下性质∶①()n＝a .②＝ 4. 一般地，如果n是正整数，那么∶ ①当有意义时，规定；②当没有意义时，称不存在， 对于一般的正分数，也可作类似规定，即== . 5.分数指数幂的意义 ①＝，＝＝(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义． 重点理解： （1）分数指数幂的理解 ①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． ②把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （2）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如＝有意义，但＝就没有意义． 注意：这个式子在不是既约分数（即m，n有大于1的公因数）时可能会有歧义. 6.负分数指数幂 若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a -s= 7.有理指数幂的运算法则∶ ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 知识点二.实数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数.因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义. 1.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，