专题03 圆锥曲线中的长度问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题3 圆锥曲线中的长度问题 一、考情分析 圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第2问,常见的有焦半径、弦长、两点间距离、点到直线距离、三角形周长等,求解方法可以用两点间距离公式、弦长公式、点到直线距离公式、函数求最值等. 二、解题秘籍 (一) 利用两点间距离公式求线段长度 若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度. 【例1】（2022届山西省吕梁市高三上学期12月月考）在平面直角坐标系中,已知椭圆的右准线为（定义：椭圆C的右准线方程为,其中）.点P是右准线上的动点,过点P作椭圆C的两条切线,分别与y轴交于M,N两点.当P在x轴上时,. （1）求椭圆C的方程； （2）求的最小值. 【解析】（1）由题意可知,当P点坐标为时,, 不妨设点M在点N上方,则, 所以直线与椭圆C相切,将直线与椭圆方程联立, 消去y,整理得, 则,整理得, 又,解得或（舍去）,所以, 即椭圆C的方程为； （2）设,切线方程为, 将切线方程与椭圆联立, 消去y,整理得, 则, 整理得, 设切线斜率为,直线斜率为, 则,,且,, 所以, 将,代入上式,整理得, 当时,上述等号成立,即的最小值为4. (二) 利用求距离 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝|x2－x1|. 其中求|x2－x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2－x1|＝, 【例2】(2022届陕西省安康市高三下学期联考)已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同,且的右焦点到的渐近线的距离为． (1)求与的方程； (2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍,且经过点,与交于、两点,与交于、两点,求． 【解析】（1）由题意可得,则． 因为的渐近线方程为,即, 椭圆的右焦点为,由题意可得,,解得, 故椭圆的方程为,双曲线的方程为． （2）设直线的倾斜角为, 所以,直线的斜率为, 所以直线的方程为, 联立得,则, 设、,则,, 所以, 联立可得,, 设点、,则,, 所以,,故． (三) 利用求距离 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝|y2－y1|.当消去x整理方程为关于y的一元二次方程常用此结论.其中求|y2－y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|y2－y1|＝. 【例3】（2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考）已知椭圆的离心率；上顶点为A,右顶点为,直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程； (2)设与圆相切的直线与椭圆相交于两点,为弦的中点,为坐标原点.求的取值范围. 【解析】（1）由知, 原点到直线的距离为,故, 故椭圆的标准方程为. （2）时：,或,故； 直线斜率不存在时,,或．故； 直线斜率存在且不为0时：设直线的方程为（）, 由直线与圆相切,所以,即, 联立得, 设, 由韦达定理：,,, 所以中点的坐标为, 故 , 故, ,当且仅当,时等号成立, 综上：的取值范围是. (四) 利用点到直线距离公式求垂线段的长 1.若已知定点P,点Q在动直线上,求最小值,常利用点到直线距离公式； 2.若点P在定直线上,点Q为曲线上,求最小值,有时可转换为与定直线平行的切线的切点到定直线的距离. 【例4】（2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试）设有椭圆方程,直线,下端点为,左､右焦点分别为在上. (1)若中点在轴上,求点的坐标； (2)直线与轴交于,直线经过右焦点,且,求； (3)在椭圆上存在一点到距离为,使,当变化时,求的最小值. 【解析】（1）因为左焦点,所以,由题知,所以,, 又因为中点在轴上,所以点的纵坐标为1,代入中的, 所以点坐标为. （2） 如图,设直线与轴交点为, 因为直线为,所以直线的倾斜角为, ①, 由题意知,,,,所以在中,,, 所以,整理可得,解得或, 又因为,所以,舍去,. （3）设直线平移后与椭圆相切的直线方程为,联立, 得,,所以, 因为椭圆上存在点到直线的距离为,,即 所以①,同时, 又因为,所以①式右侧肯定成立,左侧可以整理为, 解得, 因为,所以当取得最小值时,有最大值,最大值为. (五) 利用函数思想求距离最值 求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最值. 【例5】已知椭圆的长轴长为,点在上. （1）求的方程； （2）设的上顶点为A,右顶点为B,直线与平行,且与交于,两点,,点为的右焦点,求的最小值. 【解析】（1）因为的长轴长为,所以,即. 又点在上,所以,代入,解得, 故的方程为. （2）由（1）可知,A,B的坐标分别为,, 直线的方程为, 设, 联立得, 由,得, 设,,,因为,所以D