专题02 直线与圆锥曲线的位置关系-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题2 直线与圆锥曲线的位置关系 一、考情分析 直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型,一是根据直线与圆锥曲线有两个交点,研究长度、面积、定点、定值等问题,二是判断直线与圆锥曲线的公共点个数,三是直线与圆锥曲线相切问题,其中第一类问题是高考考查频率最高的问题. 二、解题秘籍 (一)根据直线与圆锥曲线有两个交点研究圆锥曲线的性质 1.把直线l：与椭圆C：联立,当时直线l与椭圆C有2个交点； 2. 直线l：与双曲线C：联立得,当时直线l与双曲线C有2个交点；当时直线l与双曲线C的左右支各有一个交点；当时直线l与双曲线C的右支有2个交点； 3.直线l：与抛物线C：联立,得,当时直线l与抛物线C有2个交点. 【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆的离心率为,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为时,直线l恰好经过D点. (1)求椭圆C的方程： (2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围. 【解析】（1）由题意知,离心率,所以, 设,两式相减得,所以； 所以直线为,即,所以,椭圆方程为； （2）设直线为,由得, 则,,, 所以,解得,, 因为l不过D点,则,即 则,化简得, 解得,, 所以或. 【例2】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于,两点,且三角形的面积为. (1)求的值； (2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0,与交于两个不同的点,,关于轴的对称点为,为的右焦点,若,,三点共线,证明：直线经过轴上的一个定点. 【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为, 不妨设, 因为三角形的面积为,所以, 所以,又,所以. （2）双曲线的方程为：,所以右焦点的坐标为, 若直线与轴交于点,故可设直线的方程为, 设,,则, 联立,得, 且, 化简得且, 所以,, 因为直线的斜率存在,所以直线的斜率也存在, 因为,,三点共线,所以, 即,即, 所以, 因为,所以, 所以, 所以, 化简得,所以经过轴上的定点. 【例3】（2023届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知抛物线：,直线过点. (1)若与有且只有一个公共点,求直线的方程； (2)若与交于,两点,点在线段上,且,求点的轨迹方程. 【解析】（1）当直线斜率不存在时,其方程为,符合题意； 当直线斜率存在时,设直线的方程为, 由,得. 当时,直线符合题意； 当时,令,解得, ∴直线的方程为,即. 综上,直线的方程为,或,或. （2）设,,,不妨令, ∵直线与抛物线有两个交点,∴, ∴,且,,. 由,得,∴, ∴,∴. ∵,且,∴,且, ∴点的轨迹方程为（,且）. (二)根据直线与圆锥曲线有一个公共点研究圆锥曲线的性质 1.直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切,可把直线方程与椭圆方程联立,整理成关于x或y的一元二次方程,由求解； 2. 直线l：与双曲线C：联立得,当或时直线l与双曲线C有1个交点,即直线与双曲线相切或与渐近线平行时与双曲线有1个公共点； 3.当直线l：与抛物线C：联立,得,当或 时直线l与抛物线C有1个交点,即直线与抛物线相切或与抛物线准线垂直时直线与抛物线有1个公共点. 【例4】（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆：,,是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,点在椭圆外,且． (1)求椭圆的方程； (2)若,点为椭圆上横坐标大于1的一点,过点的直线与椭圆有且仅有一个交点,并与直线,交于M,N两点,为坐标原点,记,的面积分别为,,求的最小值． 【解析】（1）因为点在椭圆上,所以,① 因为点在椭圆外,且,所以,即,② 由①②解得,, 故椭圆的方程为． （2）设点,,设直线：, 由椭圆性质以及点的横坐标大于1可知,, 将直线代入方程并化简可得,, 即, 因为直线与椭圆有且仅有一个交点, 所以,即． 直线的方程为：；直线的方程为：, 联立方程得,同理得, 所以, 所以,, 所以 , 令,则, 当且仅当,即时,不等式取等号, 故当时,取得最小值． 【例5】已知双曲线C：的焦距为4,且过点. (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点,求实数的值. 【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点为和, 根据定义有． ,又,所以,,． 所求双曲线的方程为． （2）因为双曲线的方程为,所以渐近线方程为； 由,消去整理得． ①当即时,此时直线与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线相交于一点,符合题意； ②当即时,由,解得, 此时直线双曲线相切于一个公共点,符合题意． 综上所述：符合题意的的所有取值为,． 【例6】已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个