3.2.1函数的单调性与最值 课件-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

3.2函数的基本性质 3.2.1函数的单调性与最值 新课导入 下图是两张气温变化图，我们可以从中观察出什么信息呢？ 气温大致的变化趋势、温度在哪月那天最高与最低。 只用眼睛观察到的知识不一定准确，所以我们要从函数解析式出发研究函数的一些性质，用更严密的数学语言去描述函数的性质。 新知讲授 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空子集。（若不加说明，默认I是一个区间） （1）函数的最大值：如果有使不等式对一切，就说f(x)在x=a处取得最大值M=f(a),称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点。 （2）函数的最小值：如果有使不等式对一切，就说f(x)在x=a处取得最小值M=f(a),称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点。 最大值与最小值统称为最值 新知讲授 (3)函数的单调性 如果对于区间I上任意两个值，当，都有f(),就说f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增，如图所示： 新知讲授 如果对于区间I上任意两个值，当，都有f(),就说f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减，如图所示： 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或者减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，把区间I叫作y=f(x)的单调区间。 若函数出现两个或两个以上的单调区间，不能用“”，只能用“和”或者“，”连接。 新知讲授 那么我们如何去证明函数在区间I上的增减性呢，请看下面两个例子。 【例】证明定义在R上的函数f(x)=3x+b是增函数 证明：设是任意的两个实数，其中<则 f()-f()=3+b-(3)=3(-)>0 根据单调性的定义我们知，函数f(x)是R上的增函数 新知讲授 【例】证明函数在区间（0，1]上单调递减，在区间上单调递增，并指出的最值点和最值。 解：设和是区间（0，1]上的任意实数，且满足<,则 由于< 所以k= 所以函数在区间（0，1]上单调递减 新知讲授 解：设和是区间上的任意实数，且满足<,则 由于< 所以 <1 所以 k= 即该函数在区间上单调递增 得知：该函数在上，在x=1处取得最小值，最小值为f(1)=2,最小值点是1 归纳总结 我们证明函数在定义域D的某个区间I上的单调性方法如下： 取,设 若>0 则在I上单调递增； 若则在I上单调递减。 或者我们用“差商法”若则