专题3.16 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练（30道）-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.16 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练（30道） 【人教A版2019选择性必修第一册】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2022·全国·高三专题练习）点是椭圆的左右顶点若直线与椭圆交于M，N两点，求证：直线AM与直线的交点在一条定直线上． 【解题思路】联立直线与椭圆方程，联立直线的方程与直线的方程，结合韦达定理，化简可求得直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上． 【解答过程】由题意得，，，设， 联立，化简得(， 所以，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，即，解得 原式 ， 故直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上． 2．（2022·河北省高二阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点. 【解题思路】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0. 【解答过程】（1） 由题意可得，解得， 所以椭圆C的方程为． （2） 依题意，点，设， 因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意． 所以直线斜率必不为0，设其方程为， 与椭圆C联立，整理得：， 所以，且 因为点是椭圆上一点，即， 则， 所以，即 因为 ， 所以，此时， 故直线：恒过x轴上一定点． 3．（2022·江西·模拟预测（理））已知抛物线，动直线l经过点（2，5）交C于A，B两点，O为坐标原点，当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10． (1)求C的方程； (2)C上是否存在定点P，使得P在以AB为直径的圆上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）根据当l垂直于y轴时， OAB的面积为10，由y=5与抛物线方程联立求解； （2）设l的方程为，与抛物线方程联立，根据P在以AB为直径的圆上，由求解. 【解答过程】(1) 解：因为当l垂直于y轴时，△OAB的面积为10， 联立，得． 所以 OAB的面积为， 解得， 所以C的方程为． (2) 由题知l的斜率存在，设l的方程为，，， 假设存在点P（，），使得， 联立，得， 则， ． 又， 所以， ， 又且，所以， 所以， 则，即， 所以当时，无论k取何值等式都成立， 将代入得， 所以存在定点P（－2，1）符合题意． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值． 【解题思路】设，，得到，两式作差，结合斜率公式，即可求解. 【解答过程】设，，则，可得，， 点和点P在双曲线上，则有， 两式作差得， 可得，即． 5．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线的一条渐近线交于点，且． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线右支上的一个动点，证明：在轴的负半轴上存在定点，使得． 【解题思路】（1）由双曲线的对称性可取渐近线，则可求出交点的坐标，结合与离心率为2，即可列出方程组，即可求出答案； （2）设，讨论当时求出点；当，设出点，由可知，化简利用恒成立，即可求出点的坐标. 【解答过程】（1） 根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为， 由，得， 因为， 所以，即， 又离心率为2，所以，故． 所以双曲线的标准方程为． （2） 由（1）知双曲线的右焦点为． 设，则． ①当时，． 因为， 所以， 所以， 所以，符合题意． ②当时，设． ，， 因为， 所以（结合正切倍角公式）． （i）当时，上式化简为， 又，所以，对任意恒成立. 所以，解得，即． （ii）当，时，即也能满足． 综上，在轴的负半轴上存在定点，使得． 6．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，. (1)求抛物线C的标准方程； (2)求证：点P在定直线上. 【解题思路】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解； （2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线，两直线联立得到点的坐标，结合韦达定理，从而可得点P在定直线上. 【解答过程】(1) 设直线l的方程为，，. 由得. 所以，.由抛物线定义，得 . 当直线l的倾斜角为30°时，， . 所以，即抛物线C的标准方程为. (2) 由（1），得，. 因为的垂心为原点O，所以，. 因为，所以. 所以直线AP的方程为，即. 同理可得，直线BP的方程为. 联立方程解得 即.所以点P在定直线上. 7．（2022·黑龙江