专题09 三角形中的垂线段最短模型-2023年中考数学核心几何模型重点突破讲+练

专题09 三角形中的垂线段最短模型 【模型1】垂线段最短 如图，已知点P是直线外一点，过点P作，则PB是直线外一点P与直线上各点的连线中最短的线段。 【模型2】两条线段的和最小值问题 如图，已知点是内任意一点，点、是，上的动点，求的最小值，通常作 点关于的对称点，过点作于点，交于点。此时的值最小。 【例1】如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【例2】如图Rt△ABC，，AB=5，BC=3，若动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_______． 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=8cm，点D为线段AB上的一个动点，从点A出发沿线段AB向点B运动，速度为2cm/s． (1)求AB，AC的长度； (2)如图，连接CD，线段CD是否有最小值；若有最小值，请求出这个最小值及此时时间t的值；若没有最小值，请说明理由； (3)若点E为线段AC的中点，连接DE，当△ADE为等腰三角形时，求时间t的值． 一、单选题 1．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（　　） A．PE＝6 B．PE＞6 C．PE≤6 D．PE≥6 2．如图，从位置O到直线公路l有四条小道，其中路程最短的是（    ） A．OA B．OB C．OC D．OD 3．如图，在Rt△ABC中，，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是的平分线，若P，Q分别是AD何AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（    ） A．2.4 B．4 C．4.8 D．5 4．如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（    ） A．从大变小 B．从小变大 C．从小变大再变小 D．从大变小再变大 5．如图，中，，，，，平分，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，BD⊥CD，垂足为D，∠ABD＝30°，∠A＝90°，且AD＝4，DC＝6，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（      ） A．7.1 B．6.5 C．4.8 D．3.2 二、填空题 7．如图，，，，为上一动点，则的最小值为______． 8．在△ABC中，，，E是AB边上的中点，且，点D是AB上一个动点，当CD取最小值时，∠DCE=________． 9．如图，已知是的中线，点是边上一动点，若的面积为10，，则的最小值为_______ 10．如图，菱形ABCD中，，，E是对角线AC上的任意一点，则的最小值为______． 11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，BC＝3，点M为BC上一定点且BM＝1，在BC上有一动点Q，在BD上有一动点P，则PM+PQ的最小值为 _______． 12．如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为______． 三、解答题 13．如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图． (1)在直线上作点，使，连接； (2)在的延长线上任取一点，连接； (3)在，，中，最短的线段是______________，依据是______________． 14．如图，已知点P在∠AOC的边OA上， (1)过点P画OA的垂线交OC于点B； (2)画点P到OB的垂线段PM； (3)测量P点到OB边的距离：　 　cm； (4)线段OP、PM和PB中，长度最短的线段是　 　；理由是　 　． 15．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC，点P、Q分别是AD、AC上的动点（点P不与A、D重合，点Q不与A、C重合），求PC＋PQ的最小值 16．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝750米，CD＝600米，AD＝450米． (1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线BC的长． 17．如图所示，∠AED=80°，EF平分∠AED交AD于点F，∠1=40° (1)写出判定EFBD的推理过程． (2)当∠ADE=50°时，线段EA、EF、ED中最短的是哪段？并说出理由． 18．在中，，，是边上一点，，直线