专题07 三角形中的中位线与中垂线模型-2023年中考数学核心几何模型重点突破讲+练

专题07 三角形中的中位线与中垂线模型 【模型1】三角形中位线 如图，已知D、E分别为AB、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得, 根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得。 【模型2】梯形中位线 如图，已知，E、F分别为梯形两腰AD、BC的中点，根据梯形中位线的性质，可得, 【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法 如图，在中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作，可知DE 为的中位线。 【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法 如图，在中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作，可知BC为的中位线。 【模型3】中垂线模型 如图，已知直线是AB的垂直平分线，点A是直线上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC。 【例1】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长． 【例2】如图，在菱形中，，点、分别为边、的中点，连接，求证：． 【例3】已知：如图，在△ABC 中，D在边AB上． （1）若∠ACD =∠ABC ，求证：AC2 = AD· AB； （2）若E为CD 中点，∠ACD =∠ABE，AB = 3，AC=2，求BD的长．     一、单选题 1．如图，在平行四边形中，与交于点O，点E是边的中点，，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=2cm，则AB的长为（　　） A．4cm B．8cm C．2cm D．6 cm 3．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（     ） A．2 B．4 C．8 D．10 4．如图，在矩形中，，，平分交于点点，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝____． 6．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为________． 7．梯形ABCD中，，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG的周长是______________． 8．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于_____． 9．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=，则BC的长为_______． 10．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于______． 11．如图，平行四边形中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点．下列结论正确的是__________．（填序号） ①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形． 12．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF=2，CF=6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DEBC，BF=DF，则△ADE的面积为 _____． 三、解答题 13．如图，在四边形中，，、分别是边、的中点，的延长线分别、的延长线交于点、，求证：． 14．如图所示，中，，延长到，使，点是的中点，求证：. 15．如图，已知菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DE = 4cm，∠A =45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm） 16．如图，已知在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，OE是△ABC的中位线，连接AE并延长，与DC的延长线相交于点F，且AF=AD，连接BF.证明四边形ABFC为矩形 17．已知：如图，在等边中，，且交外角平分线于点. （1）当点为中点时，试说明与的数量关系； （2）当点不是中点时，试说明与的数量关系. 18．中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将绕点A顺时针旋转n°得到，E与B是对应点，如图1． （1）延长BC、EF，交于点K，求证：∠BKE=n°； （2）当m=150，n=60时，求四边形CEFA的面积； （3）如图3．当n=150时，取BE的中点P和CF的中点Q，直接写出的值． 19．如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE． （1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F． ①求证：CF=CE； ②若B