专题05 三角形中的角平分线模型-2023年中考数学核心几何模型重点突破讲+练

专题05 三角形中的角平分线模型 【模型1】如图，已知OP平分，过点P作,；可根据角平分线性质证得≌，从而可得，。 【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法 【辅助线作法一】 如图，已知OP平分，点C是OA上的一点，通常情况下，在OB上取一点D，使得，连接PD，结合，，可证得≌。从而可得，， 。 【辅助线作法二】 如图，已知OP平分，，通常情况下，延长CP交OB于点D，结合，，，可证得≌。从而可得，，。 【辅助线作法三】 如图，已知OP平分，通常情况下，过点P作PC//OB，根据平行线性质：两直线平行内错角相等； 结合，从而可得，。 【例1】如图，OC为∠AOB的角平分线，点P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F为OC上另一点，连接DF，EF，则下列结论：①OD＝OE；②DF＝FE； ③∠DFO＝∠EFO；④S△DFP＝S△EFP，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB． 求证：△AOC≌△BOC． 【例3】请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则，下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过C作CEDA，交BA的延长线于E．… 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求BD的长．（请按照本题题干的定理进行解决） 一、单选题 1．如图，中，，，，点，分别在，上，，为中点，平分，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E， 若AB=5，BC=3，则EC的长为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．4 3．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（       ）       A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 7．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件________，使四边形AEDF是菱形． 8．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则AB的长为________． 9．如图，在中，的平分线交AB于点D，于点E．F为BC上一点，若，，则的面积为______． 10．如图，AB＝BE，∠DBC＝∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号） ①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE． 11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DEAB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 ___． 12．如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有____________．（填序号） 三、解答题 13．如图，AC＝BC，∠1＝∠2，求证：OD平分∠AOB． 14．如图，在中，AE平分于点E，延长BE交AC于点D，点F是BC的中点．若，求EF的长． 15．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，BD=BE．求证： (1)△CED是等腰三角形； (2)BD+AD=BC． 16．如图，AD为△ABC的角平分线． (1)如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB=8，AC=5．则BE=_______． (2)如图2，若∠C=2∠B，点E在AB上，且AE=AC，AB=a，AC=b，求CD的长；（用含a、b的式子表示） (3)如图3，BG⊥AD，点G在AD的延长线上，连接CG，若△ACG的面积是7，求△ABC的面积． 17．已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，． 【思考说理】 （1）求证：． 【反思提升】 （2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强