专题04 三角形中的8字模型和燕尾模型-2023年中考数学核心几何模型重点突破讲+练

专题04 三角形中的8字模型和燕尾模型 【模型1】“8字”模型 如图，已知AC与BD相交于点O，连接AD，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得；根据三角形两边之和大于第三边，可得。 【模型变式1】 如图已知BD与AC相交于点O，点E在OA上，连接AD，DE，BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得。 【模型变式2】 如图DB与DG分别交AF于C点，E点，连接AB，GF；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得。 【模型2】“燕尾”型 如图在四边形ABOC中，可根据外角定理：三角形的一个外角等于不与它相邻的两个内角的和，可得 。 【模型变式1】 如图在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AE，BF，CD相交于点O。可得： ①： ② ③ 【证明】如图，分别过点B，点C作BG垂直于AE于G点，作CP垂直于AG的延长线于P点。 在中，； 在和中,；； ∽ 同理可证：； 【例1】如图，，，，，求和的度数． 【例2】如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________； (2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； ②若，试求的度数； ③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 3．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 4．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 6．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（    ） A．90° B．360° C．180° D．无法确定 二、填空题 7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__． 8．如图，______°． 9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__． 10．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__． 三、解答题 11．如图所示，已知四边形，求证． 12．如图，、分别平分和，若，，求的度数. 13．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 14．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 15．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 16．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 （1）直接应用： ①如图2，，则__________； ②如图3，__________； （2）拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________； ②如图5，、分别为