1.3.3 第2课时 等比数列前n项和的综合应用（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

第2课时　等比数列前n项和的综合应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 3．能用分组转化方法求数列的和． 1．在运用等比数列知识解决实际问题的过程中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养． 2．借助分组求和，培养数学运算的核心素养． [对应学生用书P33] 设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是(　　) A．a6a8>1　　　　　 B．0<q<1 C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T7 B　解析：若q<0，因为a1>1，所以a6<0，a7>0，则a6·a7<0与a6·a7>1矛盾； 若q≥1，因为a1>1，所以a6>1，a7>1，则>0，与<0矛盾， 所以0<q<1，故B正确； 因为<0，则a6>1>a7>0，所以a6a8＝a∈(0，1)，故A错误； 因为an>0，0<q<1，所以Sn＝－单调递增，故C错误； 因为n≥7时，an∈(0，1)，1≤n≤6时，an>1，所以Tn的最大值为T6，故D错误． [方法总结]　若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． 同时Sn＝A(qn－1)可看作关于正整数n的指数型函数，可研究其单调性和有界性等问题． [训练1]　(多选题)记数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的n∈N＋，都有|Sn|<H，则称数列{an}为“和有界数列”．下列说法正确的是(　　) A．若数列{an}是等差数列，且公差d＝0，则数列{an}是“和有界数列” B．若数列{an}是等差数列，且数列{an}是“和有界数列”，则公差d＝0 C．若数列{an}是等比数列，且公比q满足|q|<1，则数列{an}是“和有界数列” D．若数列{an}是等比数列，且数列{an}是“和有界数列”，则公比q满足|q|<1 BC　解析：若数列{an}是公差为d的等差数列，则Sn＝na1＋＝n2＋(a1－)n，当d＝0时，若a1≠0，则Sn＝a1·n，Sn是n的一次函数，不存在符合题意的H，A错误； 数列{an}是“和有界数列”，当d≠0时，Sn是n的二次函数，不存在符合题意的H， 当d＝0，a1＝0时，存在符合题意的H，B正确；若数列{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，则Sn＝，因q满足|q|<1，则|qn|<1，即|1－qn|<2，|Sn|＝·|1－qn|<2，则存在符合题意的实数H，即数列{an}是“和有界数列”，C正确； 若等比数列{an}是“和有界数列”，当q＝－1时，若n为偶数， 则Sn＝0，若n为奇数，则Sn＝a1，即|Sn|＝|a1|，从而存在符合题意的实数H，D错误．故选B、C. 命题角度1　几何图形中的问题 把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去． (1)图③中共挖掉了________个正方形； (2)第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． (1)73　(2)　1－()n　解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝.故(1)图③中共挖掉了＝73个正方形． (2)第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×()2＋8×()4＋82×()6＋…＋8n－1×()2n＝＝1－()n. [变式]　本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形面积之和趋近于多少？ 解：由本例解法，设被挖掉的正方形面积之和为Sn，则Sn＝1－()n，由于一直继续下去，即n无限增大时，()n无限趋近于0，此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1. [方法总结]　解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解． [训练2]　如图，已知△ABC面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2 020个三角形面积为(　　) A．　 B．　 C．　 D． B　解析：观察图形可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的，设第n个三角形的面积为an，则数列{an}是首项为a1＝4，公比为的等比数列，所以an＝4×()n－1＝()n－2，所以第2 020个三角形面积为a2 020＝()2 018＝. 命题角度2　增长率问题 某家庭打算以一年定期的方式存