1.3.3 第1课时 等比数列的前n项和的公式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

1．3.3　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和的公式 课程内容标准 学科素养凝练 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2．理解等比数列前n项和的性质及应用． 3．会用错位相减法求数列的前n项和． 1．在推导等比数列前n项和公式的过程中，达成逻辑推理、数学抽象的核心素养． 2．在运用等比数列前n项和公式及性质的过程中，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P30] 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 一般地，设公比为q的等比数列{an}的前n项和是 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，① 将①式两端同时乘以公比q，由an＝qan－1得 qSn＝a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1，② 由①－②得 (1－q)Sn＝a1－an＋1＝a1(1－qn)， 当q≠1时，Sn＝；当q＝1时，Sn＝na1. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　) A．210＋2　　　　　 B．29－2 C．210－2 D．211－2 答案：D　 3．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 答案：A　 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99＝________． 答案：12　 [对应学生用书P31] 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：求a3和q. 第二步，精读题目挖已知条件：{an}为等比数列，且知道首项和前3项和． 第三步，建立联系寻解题思路：讨论公比q是否为1，利用前n项和公式，求出公比，进而求出a3. 第四步，书写过程养规范习惯． 解：由题意得，若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S3＝＝＝6，解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8. [方法总结]　使用等比数列求和公式时的注意事项 (1)一定不要忽略q＝1的情况． (2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝. (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn，知道其中任意三个，可求其余两个． [训练1]　(2020·全国卷Ⅱ)在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5 C　解析：在等式am＋n＝aman中，令m＝1，可得an＋1＝ana1＝2an，所以＝2. 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列， 即an＝2×2n－1＝2n. 所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1(210－1)＝25(210－1). 所以2k＋1＝25，即k＋1＝5，解得k＝4. [训练2]　在等比数列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解：方法一　∵an＝96，q＝2，∴a1·2n＝192.　① 又∵Sn＝＝189，即a1－a1·2n＝－189， ∴a1＝a1·2n－189＝192－189＝3，代入①式得n＝6. 方法二　由公式Sn＝及已知，得189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A．28 B．32 C．21 D．28或－21 A　解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4为等比数列． ∴(S4－7)2＝7(91－S4)， 解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2， ∴S4＝28. (2)在等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a