1.3.2 等比数列与指数函数（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

1．3.2　等比数列与指数函数 课程内容标准 学科素养凝练 1．结合指数函数，了解等比数列的图象． 2．理解等比数列的单调性及应用． 3．掌握等比数列与等差数列的综合应用． 1．通过对等比数列图象和单调性的学习达成直观想象和逻辑推理的核心素养． 2．在等比数列与等差数列的综合应用中提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P27] 对于等比数列{an}，通项公式an＝a1qn－1＝·qn.它们都是一个非零常数c(c＝)与指数函数y＝qx的乘积：y＝cqx. 由指数函数y＝qx的图象可以得出y＝cqx的图象，而y＝cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成如下图等比数列的图象． 当等比数列的公比q＝1时等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点． 1．对于等比数列{an}，借助函数y＝cqn的性质．可分析等比数列{an}的增减性如下表． a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 数列{an}的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 2．等比数列{an}，当公比q<0时，是摆动数列，即不递增也不递减，反应在图象上是一系列上下波动的孤立的点(如图) 1．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{anbn}，也为等比数列． 2．等比、等差数列的两个性质 已知b>0，且b≠1， ①如果数列{an}是等差数列，那么数列{ban}是等比数列． ②如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是等差数列． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．(　　) (2)等比数列{an}中，a1>1，q<0，则数列|a1|，|a2|，|a3|，…，|an|，…是递增数列．(　　) (3)当q>1时，{an}为递增数列．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．等比数列{an}中，若a1＝2，且{an}是递增数列，则数列{an}的公比q的取值范围是(　　) A．(0，＋∞)　　　　 B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，0) 答案：C 3．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，若bn＝lg an，则数列{bn}的通项公式为________． 答案：bn＝(n－3)lg 2(n∈N＋) 4．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________秒，该病毒占据内存64 GB.(1 GB＝210 MB) 答案：45 [对应学生用书P28] (1)在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数列{an}递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：当a1<a2<a3时，设公比为q，由a1<a1q<a1q2得 若a1>0，则1<q<q2，即q>1，此时，显然数列{an}是递增数列， 若a1<0，则1>q>q2，即0<q<1，此时，数列{an}也是递增数列， 反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1<a2<a3.故“a1<a2<a3”是“等比数列{an}递增”的充要条件． (2)关于递增等比数列{an}，下列说法正确的是(　　) A．a1>0 B．q>1 C．<1 D．当a1>0时，q>1 D　解析：由题意，设数列{an}的公比为q，因为an＝a1qn－1，得an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0， 当a1>0时，q>1，此时0<<1，当a1<0时，0<q<1，>1，故不正确的是ABC. [方法技巧]　等比数列单调性的判定方法 或⇔{an}递增； 或⇔{an}递减；q＝1⇔{an}为常数列；q<0⇔{an}为摆动数列． [训练1]　在等比数列{an}中，a1＝，当n≥11时，an>1恒成立，则公比q的取值范围是________． (，＋∞)　解析：在等比数列{an}中，a1＝，所以a11＝q10>1，q10>32，q>， 当n≥11时，an＋1－an＝an(q－1)>0，数列递增，所以当n≥11时，an>1恒成立． 故答案为：(，＋∞). (1)若数列{an}为等差数列，数列{2an}为________数列；若数列{an}为等比数列，且an>0，则数列{lg an}为________数列． 等比　等差　解析：①若数列{an}为等差数列，设公差为d，则＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{2an}是首项是2a1、公比为2d的等比数列． ②若数列