1.2.2 等差数列与一次函数（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修 第一册（湘教版2019）

1．2.2　等差数列与一次函数 课程内容标准 学科素养凝练 1．了解等差数列通项公式与一次函数的关系． 2．能从函数角度研究等差数列的图象和性质． 3．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 1．通过从函数角度研究等差数列的图象和性质培养直观想象、逻辑推理的核心素养． 2．通过等差数列解决综合问题，达成逻辑推理、数学建模的核心素养． [对应学生用书P13] (1)对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d). 当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)； 当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线． 等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成． (2)等差数列的增减性 当d>0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列{an}递增，如图甲所示． 当d<0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右下降，等差数列{an}递减，如图乙所示． 当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列{an}为常数列，如图丙所示． 从函数的观点看，等差数列{an}的任意两项的函数值之差与相应自变量之差的比为公差d，即d＝.变形得：an＝am＋(n－m)d. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)等差数列的图象要么是上升的、要么是下降的．(　　) (2)若an＝An＋B，则它是以A＋B为首项，A为公差的等差数列．(　　) (3)已知an＋1＝an＋3，则数列{an}为递增数列．(　　) (4)已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于(　　) A．32　　B．－32　　C．35　　D．－35 答案：C　 3．已知等差数列{an}的公差为d，若{an}为递增数列，则(　　) A.d>0 B．d<0 C.a1d>0 D．a1d<0 答案：A　 4．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案： [对应学生用书P14] 已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求这个数列的通项公式； (2)画出这个数列的图象； (3)判断这个数列的单调性． 解：(1)由于(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5. 由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1. (2)图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点，如图所示： (3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列． [方法总结]　理解等差数列的通项公式与一次函数的关系，强化数学的本质，渗透数形结合思想、转化与化归思想及函数与方程思想，解完本例后，要领悟反思这些思想方法，充分挖掘本例的训练价值． [训练1]　“等差数列{an}，若p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at”是等差数列的一条性质，下图是它的一种情形．那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？ 解：根据等差数列的函数特性，公差d即为图中直线的斜率，∴d＝＝. ∵p＋q＝s＋t，∴p－s＝t－q，∴ap－as＝at－aq，∴ap＋aq＝as＋at. (1)已知数列{an}为等差数列，则下面不一定成立的是(　　) A．若a2>a1，则a3>a1 B．若a2>a1，则a3>a2 C．若a3>a1，则a2>a1 D．若a2>a1，则a1＋a2>a1 D　解析：利用等差数列的单调性可得：若a2>a1，所以公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列，所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，所以A，B正确； 若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立，所以C正确； 若a2>a1，a1＋a2>a1不一定成立，例如a1<0时不一定成立，所以D不一定成立．故选D. (2)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　) A．d<0　　　　　　 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 C　解析：∵数列{2a1an}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a－a1d， 等式右边为关于n的一次函数，∴a1d<0. (3)首项为－21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是(　　) A．d>3 B．d< C．3≤d< D．3<d≤ D　解析：an＝－21＋(n－1)d. ∵从第8项起开始