“四翼”检测评价(十六) 抛物线及其标准方程-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

由双曲线定义，知m-n=2a=8，①-a+b=1+->2，则e=2.故解：(1)设经过第一、三象限的渐近线 又m^e+n^2=(2c)^2=80，② 由①②得mn=8，所以S_ΔF_1M，=双曲线的离心率为2.的方程为y=kx，则一4，解得 2mn=4=_2|F_1F_2|·h，10.解：(1)椭圆方程可化为号+一=1，k=÷。若双曲线焦点在x轴上，则兰 焦点在x轴上，且c=\sqrt{9}-4=\sqrt{5}，=÷；若双曲线焦点在y轴上， 所以h=2^5.所以点M到x轴的距焦点在x轴上，且c=\sqrt{9}-4=\sqrt{5}，e=号；若双曲线焦点在y轴上， 故设双曲线方程为了一号=1(a>0，则“=号e=4，故所求双曲线的离 离为=2． （2)设所求双曲线C的方程为b>0)，则有a^x～b=1'解得a^2=心率为e=号或e=平 a^2+b^2=c^2，（2)由题意设F_1(―c，0)，F_2(c，0)， 16-λ-4+λ=1(-4<λ≤16)，3，b^2=2.所以双曲线的标准方程为由PF_⊥PF_3，得PF1·PFa=0， 由于双曲线C过点(3\sqrt{2}，2)，÷--=1.―所以(3+c)(3-c)+16=0，即c=5， 所以16=x-4+1=1，（2)△MF，F。是钝角三角形。不妨设由(1)知=3，又a^2+b^2=c^2=25， 解得λ=4或λ=―14(舍去)，所以所M点在双曲线的右支上，则有|MF1所以a=3，b=4，所以双曲线的方程为 求双曲线C的方程为12-8=1.-|MF_2|=2\sqrt{3}，又|MF_1|+|MF2| -==1. 6.解：设点D的坐标为(\sqrt{5}，0)，则点A，3，故解得|MF1|=4\sqrt{3}，MF_2| 是 △MF1F_2中，边MF_1最长，-÷=1，∴a=2，b=\sqrt{5}，c=3， 混个个曲线的焦点，由双曲线的定义，=2\sqrt{3}，又│F_1F_2|=2\sqrt{5}，因此在·解：(1)当m=4时，双曲线方程可化为 所以MA⊥=MB|=2+|MB|+|MD|而cos∠MF_4F_1∴焦点坐标为(―3，0)，(3，0)， ≥2+|BD|．F_2|^2+|F，F_2|^2-|MF_1⊥∠0，顶点坐标为(―2，0)，(2，0)， 又B是圆x^2+(y-\sqrt{5})^2=1上的点，圆|MF。 的圆心为C(0，\sqrt{5})，半径为1.故|BD|≥所以∠MFF，为钝角，故△MF_1F_2渐近线方程为y=± __为钝角三角形．2)为=”、=1+， [CDT-1=\sqrt{10}-1，从而|MA|千（二)综合应用_ MB≥2±|BD|≥\sqrt{10}+1，当点M，选D设F_1(一c，0)，A(-c，y_o)，\sqrt{2} B在线段CD上时不等式取等号， 即|MA|+|MB|的最小值为\sqrt{10}+1.则二一=1.∴2=-1=“ （三)创新发展a2⋮∴<1+2<2，解得5≤m<10， 解：以类比的方法将椭圆换成双曲线写-b-2∴y}==∴|AB|=2|y_实数m的取值范围是(5，10)。 类似性质．⋮（三)创新发展 类似的性质如下：若M.N为双曲线--。。又S_ΔAm_2=2\sqrt{6}∴2·2c·解；(15设双曲线C的两个焦点分别为F =1上关于原点对称的两点，点Р是|AB|=·2c·-==2\sqrt{6}，(二c0)，F_2(c，0)，由题意，得c=2，∴a’ 十b=c^2=4，则a=\sqrt{2}，二 双曲线上任意一点，设直线PM，PN的一=6∴一-1=4所求双曲我C的方程为在由对 斜率都存在；并记为kPv，k_py，那么kPM该双曲线的渐近线方程为y-不可能为P(1，^2)，故此时称性可知，中点不可能为P3。2时 与kp_N之积是与点P位置无关的定值。 _证明如下：设P(x，y)。M(m，n)，且x≠±m，x，故选D。当AB所在直线斜率存在时，设AB所在 直线的方程为y=kx＋m，A(x_1，y_1)， 则N(-m，-n)，其中”-”=1，2.解析；不妨设A在第一象限。由题意知，B(x，y_2+m 即n^2=-(m-a^2)∴k_mA=2-m，k_Pv=A所在直线的倾斜角为∠AOC的一 半，即∠AOB=60^°，故一=tan60^∘=⋮∝立=2.得(1-k^2)x^2-2kmx- （m^2+2)=0，则Δ=4k^2m^2-4(1-k^2)· 主m又。-p=1，即y^2=a(α^2-a^2)．\sqrt{3}，又点B(2，0)为双曲线的焦点，所一m^2-2)=-8k^2+4m^’+8>0，即2k ∴y^2-n^2=-(x^2-m^2)。以a2＋b2=4⇒4a^2=4⇒a=1，故b=一m^2-2≤0①， \sqrt{