专题23.8 相似三角形的常见模型【八大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题23.8 相似三角形的常见模型【八大题型】 【华东师大版】 【题型1 A字型】 2 【题型2 “8”字形】 3 【题型3 AX字型】 4 【题型4 子母型】 6 【题型5 三角形内接矩形型】 8 【题型6 双垂直型】 9 【题型7 手拉手型】 11 【题型8 一线三角型】 13 【基本模型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【题型1 A字型】 【例1】（2022·湖南·永州柳子中学九年级期中）如图，王华晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往前走2米到达处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯的高度等于_________． 【变式1-1】（2022·江苏·常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【变式1-2】（2022·全国·九年级专题练习）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）． 【变式1-3】（2022·云南楚雄·九年级期末）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（       ） A． B． C． D． 【基本模型】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【题型2 “8”字形】 【例2】（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2-1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BC＝6，，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【变式2-2】（2022·吉林·长春市赫行实验学校二模）如图，在中，，，，点为上一点，连接，为上一点，于点，当时，求的长． 【变式2-3】（2022·陕西渭南·九年级阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值． 【基本模型】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【题型3 AX字型】 【例3】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点． ①若，求的长； ②作，垂足为，求证：． 【变式3-2】（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________． 【变式3-3】（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1． （1）请你探究：，是否都成立？ （2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断． （3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值． 【基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【题型4 子母型】 【例4】（2022·重庆实验外国语学校九年级期末）如图，在中，，，，，，则CD的长为______． 【变式4-1】（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）已知：如图1，中，是的角平分线，． 求证：与互为母子三角形． （3）