专题6.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题6.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道） 【苏科版】 考卷信息： 本套训练卷共60题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与计算的理解！ 一．解答题（共60小题） 1．（2021·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在中，点在边上，. （1）求证：； （2）若求的长. 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案． （2）根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD； （2）解：∵△ABC∽△ACD， ∴，即， 解得：AC=6. 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基础题型． 2．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长． 【答案】2.4 【分析】根据已知可证明△ABE~∆FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBF，    ∵∠A=90°，∠CFB=90°， ∴△ABE∽△FCB   ∴， ∵BC=3，E是AD的中点， ∴AE=1.5 ， ∴BE=2.5， ∴，    ∴FC=2.4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，于D． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：∵于D． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 4．（2021·上海·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H． （1）求HD的长； （2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示） 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，根据相似三角形的判定得，，由BE=EF=FD可得出，，根据相似三角形的性质即可求解； （2）由BE=EF可得与的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的值，-即可得四边形AEFH的面积． 【详解】解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8， ∴，=8， ∴，， ∴，， ∵BE=EF=FD， ∴，， ∴BG=AD=4，HD=BG， ∴HD=2； （2）∵BE=EF， ∴=a， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形AEFH的面积=-=． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（2021·湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB． 【答案】4 【分析】由∠A＝∠A，∠ABD＝∠C可证明△ADB∽△ABC，由相似三角形的性质可知，从而可求得AB的长． 【详解】解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C， ∴△ADB∽△ABC． ∴，即． 解得：AB＝4（负值已舍去）． ∴AB＝4． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，由相似三角形的性质得到是解题的关键． 6．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA． 【答案】见解析； 【分析】由AB＝4，BC＝8，BD＝2可知，再由∠ABD＝∠CBA可得△ABD∽△CBA； 【详解】证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2， ∴， 又∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠1=∠2，，求证：∠C=∠D． 【答案】见解析 【分析】根据∠1=∠2得到∠BAC=∠EAD，结合得到△ABC∽△AED，再根据相似三角形对应角相等即可得到∠C=∠D． 【详解】解：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE， ∴∠BAC=∠EAD，且， ∴△ABC∽△AED， 由相似三角形对应角相等可知： ∴∠C=∠D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，属于基础题，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 8．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的