专题2 对称问题（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

专题2 对称问题 [对应学生用书第59页] 在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型． 题型一　几种常见的对称问题 [例1]　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程． [解]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得∴P′点的坐标为(－2，7)． (2)解方程组得则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则解得 点M′也在所求直线上． 由两点式得直线方程为＝，化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程． (3)在直线l上取两点E(0，3)，F(－1，0)， 则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E′(6，1)，F′(7，4)． 因为点E′，F′在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为＝，即3x－y－17＝0． 对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)． (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0． (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 题型二　对称问题的应用 [例2]　已知光线从点A(－2，4) 射出，经直线l：2x－y－7＝0 反射，反射光线过点B(5，8)．求： (1)反射光线所在直线的方程； (2)光线从点A到点B经过的路程． [解]　(1)设点A关于l的对称点为A′(x，y)，则即解得A′(10，－2)．∴ 反射光线所在直线方程为＝，即2x＋y－18＝0． (2)光线从点A到点B经过的路程为|AP|＋|PB|＝|A′P|＋|PB|＝|A′B|＝＝5． 解答本题的关键是求一个点关于直线的对称点的坐标，然后用两点间距离公式计算． [例3]　某地A，B 两村庄在同一直角坐标系中的位置分别为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线l的方程为x＋2y－10＝0．若在河边建一座供水站P，使P到A，B 两村庄的管道长度之和最小，则该最小值等于多少？ [解]　作点A关于直线l的对称点A′， 设A′(a，b)，则线段AA′ 的中点在l上，且AA′⊥l，则 解得即A′(3，6)，所以所求的最小值为|A′B|＝＝． 直线的同一侧的两点到直线上一点距离和最小问题，可利用点关于直线对称，转化为两点间的距离最小问题． 学科网（北京）股份有限公司 $