2.2.3 第1课时 两条直线的相交、平行与重合（教师用书）-2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第一册【勤径学升·同步练测】（人教B版）

第1课时　两条直线的相交、平行与重合 [学习任务] 1．能根据斜率判定两条直线平行． 2．能用解方程组法求两条直线的交点坐标． [对应学生用书第52页] 知识点一　两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，则l1与l2的位置关系和方程组的解的情况有下列关系： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点的个数 1 无数 0 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点二　两条直线的相交、平行与重合 1．利用直线的斜截式方程判断两直线相交、平行或重合 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2． ①l1，l2相交⇔k1≠k2； ②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2； ③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． 2．利用直线的一般式方程判断两直线相交、平行或重合 (1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0． l1，l2相交⇔A1B2≠A2B1， l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)， l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1(或B1C2＝B2C1)． (2)l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0， l1∥l2⇔C1≠C2， l1与l2重合⇔C1＝C2． [对应学生用书第53页] 探究一　两条直线位置关系的判定 [例1]　判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋； (3)l1：(－1)x＋y＝3，l2：x＋(＋1)y＝2； (4)l1：x＝5，l2：x＝6． [解]　(1)把l1化为3x－y＋4＝0， 则A1＝3，B1＝－1，C1＝4；A2＝2，B2＝－6，C2＝1． 因为≠，所以l1与l2相交． (2)A1＝2，B1＝－6，C1＝4； 把l2化为x－3y＋2＝0，所以A2＝1，B2＝－3，C2＝2． 因为＝＝，所以l1与l2重合． (3)把l1化为(－1)x＋y－3＝0， 把l2化为x＋(＋1)y－2＝0， 则A1＝－1，B1＝1，C1＝－3； A2＝1，B2＝＋1，C2＝－2． 因为＝≠， 所以l1与l2平行． (4)把l1化为x－5＝0，把l2化为x－6＝0， 则A1＝1，B1＝0，C1＝－5；A2＝1，B2＝0，C2＝－6， 因为A1B2－A2B1＝0，而A2C1－A1C2≠0，所以l1与l2平行． 两条直线相交、平行或重合的判定方法 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0． (1)若A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)，则两直线相交． (2)若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)或＝≠(A2B2C2≠0)，则两直线平行． (3)若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)或＝＝(A2B2C2≠0)，则两直线重合． 1．(多选)下列各直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是(　　) A．2ax－ay＋6＝0(a≠0) B．y＝2x C．2x＋y－3＝0 D．2x＋y＋5＝0 解析　∵直线2x－y－3＝0的斜率为2，∴与直线2x－y－3＝0相交的直线的方程的斜率不等于2，A，B的斜率均为2，C，D的斜率均为－2，故选CD． 答案　CD 2．直线l1，l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝，那么直线l1，l2的位置关系为(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 解析　因为v1＝(2，－3)，v2＝，所以v1＝－4v2，所以v1∥v2，故直线l1与l2平行或重合． 答案　D 探究二　两直线平行的应用 [例2]　(1)“直线ax＋2y＋4＝0与直线x＋(a－1)y＋2＝0平行”是“a＝－1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　当直线ax＋2y＋4＝0与直线x＋(a－1)y＋2＝0平行， 则1×2－(a－1)a＝0，解得a＝2或a＝－1． 当a＝2，直线2x＋2y＋4＝0和直线x＋y＋2＝0重合，舍去，所以a＝－1． 根据充分条件、必要条件的定义可得， “直线ax＋2y＋4＝0与直线x＋(a－1)y＋2＝0平行”是“a＝－1”的充分必要条件． [答案]　C (2)经过直线2x＋3y－7＝0与7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线2x＋4y－3＝0的直线方程是________． [解析]　联立方程组可知2x＋3y－7＝0与7x＋15y＋1＝0的交点为， 设所求直线为x＋2y＋m＝0， 则12＋2×＋m＝0，解得m＝－． 所