2.2.3 第1课时 两条直线的相交、平行与重合 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教B版2019）

2.2.3　两条直线的位置关系 第1课时　两条直线的相交、平行与重合 情境导入 课程标准 　　我们先看以下问题:生活中两条直线相交的实例随处可见,如图是北京立交桥的图片, 四通八达的交通路线为美丽的城市增添了无穷的魅力,这些交通路线直观地刻画了两条直线相交等位置关系,如果知道直线的方程,如何判定出两直线的位置关系呢?又如何求出其交点坐标呢? 1.理解并掌握两条直线相交、平行与重合的条件。 2.由已知条件判断两直线的相交、平行与重合。 3.能利用两条直线的平行解决实际问题。 自主预习明新知 　 知识点一、代数法判断两条直线的位置关系 若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则可得方程组消去未知数y并整理,可得(k1-k2)x=-(b1-b2)。 具体判断方法如表所示。 位置关系 平行 重合 相交(一般) 图示 方程组的解 无解 有无数个解 有唯一解 k,b满足 条件 k1=k2且b1≠b2 k1=k2且b1=b2 k1≠k2 知识点二、向量法判断两条直线的位置关系 v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量,v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量。 (1)l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线,即A1B2≠A2B1。 (2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线,即A1B2=A2B1。 微提醒 对两直线平行与斜率的关系要注意的几点 (1)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合。 (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时,l1与l2的倾斜角都是90°,则l1∥l2。 (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是:l1∥l2⇔k1=k2或l1,l2斜率都不存在。 合作探究攻重难 　 类型一　两条直线位置关系的判定 　　【例1】　判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标。 (1)l1:4x+3y-2=0与l2:x+2y+2=0; (2)l1:x+2y-=0与l2:2x+4y-1=0; (3)l1:x-3y=0与l2:y=x+1。 解　解法一:(1)解方程组①×2-②×3得5x-10=0,所以x=2。将x=2代入①得y=-2,所以两直线相交,交点坐标为(2,-2)。 (2)解方程组①×2-②得0=0,即此方程组有无数多个解,所以两直线重合。 (3)解方程组由①得x=3y,代入②得y=y+1,即0=1不成立,所以方程组无解,所以两直线平行。 解法二:(1)由已知得A1=4,B1=3,C1=-2,A2=1,B2=2,C2=2,因为A1B2-A2B1=4×2-1×3=5≠0,所以两直线相交。解方程组得所以两直线的交点为(2,-2)。 (2)由已知得A1=1,B1=2,C1=-,A2=2,B2=4,C2=-1,因为A1B2-A2B1=1×4-2×2=0,A1C2-A2C1=1×(-1)-2×=-1+1=0,所以两直线重合。 (3)由已知得A1=1,B1=-3,C1=0,A2=,B2=-1,C2=1,因为A1B2-A2B1=1×(-1)-×(-3)=-1+1=0,A1C2-A2C1=1×1-×0=1-0=1≠0,所以两直线平行。 　　两直线斜率存在时位置关系的判断方法 若两直线斜率都存在,则把直线方程化成斜截式,根据直线的斜率和在y轴上的截距来判断。 (1)若两直线斜率不相等,则两直线相交。 (2)若两直线斜率相等,在y轴上的截距不等,则两直线平行。 (3)若两直线斜率和在y轴上的截距都相等,则两直线重合。 【变式训练】　已知两直线l1:x+my+6=0;l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:(1)相交?(2)平行?(3)重合? 解　因为直线l1:x+my+6=0,直线l2:(m-2)x+3y+2m=0,所以A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m。 (1)若l1与l2相交,则A1B2-A2B1≠0,即1×3-m(m-2)≠0,即m2-2m-3≠0,即(m-3)(m+1)≠0,即m≠3,且m≠-1。故当m≠3,且m≠-1时,直线l1与l2相交。 (2)若l1∥l2,则有即即即所以m=-1。故当m=-1时,直线l1与l2平行。 (3)若l1与l2重合,则有即所以所以m=3。故当m=3时,直线l1与l2重合。 类型二　利用两条直线平行求直线方程 　　【例2】　(1)求过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。 (2)求过点P(3,2)且法向量为a=(-1,1)的直线方程。 解　(1)解法一:已知直线的斜率为-,因为所求直线与已知直线平行,所以所求直线方程的斜率为-。由点斜式,得所求直线的方程为y+4=-(x-1),即2x+3y+10=0