第一章 集合与常用逻辑用语 章末优化提升（教师用书）-2022-2023学年高一新教材数学必修一【勤径学升·同步练测】（人教B版）

[对应学生用书第25页] 考点一　集合的概念及基本关系 [例1]　(1)(多选)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m不可能为(　　) A．0　 　　　　 B．2　 　　　　 C．3　 　　　 D．1 [解析]　由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0，3，2}，符合题意． [答案]　ABD (2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B⊆A，则实数a的取值范围为____________． [解析]　因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅.画数轴如图所示，由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1.即a<－2或a≥. 因为a<1，所以a<－2或≤a<1，即所求a的取值范围是a<－2或≤a<1. [答案]　(－∞，－2)∪ (1)在集合的小题中，很多时候是考查集合元素的互异性，所以很多时候求出字母的值之后一定要回带检验是否满足互异性． (2)处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、维恩图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”． 1．已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3　　 B．2 C．2或3　　 D．0或2或3 解析　当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝∅，满足B⊆A；当m≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2.综上，m＝0或2或3. 答案　D 考点二　集合的基本运算 [例2]　全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}，C＝{x|x>a}． (1)求(∁UA)∩(∁UB)； (2)若A⊆C，求a的取值范围． [解]　(1)∵A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}， ∴A∪B＝(2，8)，得(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝(－∞，2]∪[8，＋∞)． (2)∵A＝{x|3≤x<8}，C＝{x|x>a}，又A⊆C，如图， ∴a的取值范围为{a|a<3}． 集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用维恩图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． 2．设全集U＝{x∈N*|x≤10}，A＝{1，3，4，5}，B＝{3，5，6，7，8}．求： (1)A∪B，A∩B； (2)(∁UA)∩(∁UB)． 解　(1)因为A＝{1，3，4，5}，B＝{3，5，6，7，8}， 因此A∪B＝{1，3，4，5，6，7，8}，A∩B＝(3，5)． (2)因为全集U＝{x∈N*|x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，所以∁UA＝{2，6，7，8，9，10}，∁UB＝{1，2，4，9，10}，因此(∁UA)∩(∁UB)＝{2，9，10}． 考点三　全称量词命题与存在量词命题 [例3]　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)∀x∈R，x2＋x＋1>0； (2)∃x∈R，x2－x＋1＝0； (3)所有的正方形都是矩形． [解]　(1)∃x∈R，x2＋x＋1≤0，真假性：假命题． (2)∀x∈R，x2－x＋1≠0，真假性：真命题． (3)至少存在一个正方形不是矩形，真假性：假命题． (1)掌握全称量词的否定是存在量词，存在量词的否定是全称量词是解题关键． (2)判断全称量词命题为真，需要证明；为假，需要举出反例；判断存在量词命题为真，需要举出正例；为假，需要证明． 3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假． (1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≠0都成立； (2)q：∃x∈R，使x2＋3x＋5≤0. 解　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是：存在一个x∈R，使x2＋x＋1＝0成立，即¬p：“∃x∈R，使x2＋x＋1＝0”，因为Δ＝－3<0，所以方程x2＋x＋1＝0无实数解，此命题为假命题． (2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2＋3x＋5>0成立，即¬q：“∀x∈R，有x2＋3x＋5>0”．因为Δ＝－11<0，所以对∀x∈R，x2＋3x＋5>0总成立，此命题是真命题． 考点四　充分条件、必要条件 [例4]　下列命题中，判断p是q的