“四翼”检测评价(七) 空间中的平面与空间向量-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

因为AB|=√6，|BC1=2, 2=0. 对选项A,(2,1,1)·(1,一4,2)=0 y+ 所以y=一 2, (0,2,4)·(1,一4,2)=0，满足垂直关 所以cos(AB,BC)=。二2 即 系，故符合题意： 266 2x+=0 x=2x. 所以异面直线AB,与BC所成角的余 经计算，选项A、C、D中的向量均不能 对于选项B.(21)·(什，-1，号) 我值为 作为平面AEF的法向量 0,02,40·(,-1,）=0,满足 5.C 5.解：(1)E(a,x,0),F(a一x,a,0) 7.a⊥Ba∥3或重合 垂直关系，故符合题意： 2远明周为Aa0.C0a,a,8.(3，-与，-3） 对于选项C,(2,11)·(-子，1 所以AF=(-x,a,-a),CE=(a, x-a,-a,所以AF·C1E=-a.x+ 9.证明：如图，分别以 DA,DC,DD1所在 2）=0,o,240…(-1.-2） a(x-a)+(-a)2=0, 直线为x轴、y轴、 0,满足垂直关系，故符合题意； 所以A,F⊥CE,所以AF⊥CE. 轴，建立空间直角坐 对于选项D,(2,1,1)·(0,一1,1)=0 (3)证明：因为A1,E,F,C1四，点共面， 标系. 但(0,2,4)·(0，一1,1)≠0，故不符合 题意.故选A、B、C. 所以AE,AC,,A1F共面. 设正方体棱长为a, 则A(a,0,0),A1(a, 2.解析：由三垂线定理知BD⊥PC,当 选AC与A,E为一组基向量，则存在 0,a),D1(0,0,a),B1(a,a,a) DM⊥PC时，即有PC⊥平面BMD,所 唯一实数对（入1，A2),使A1F=入1AC B(a,a,0),C1(0,a,a). 以平面MBD⊥平而PCD. 答案：DM⊥PC(答案不唯一) 十λ2A,E, N(号0a)M(a,号a) 3.解析：建立如图所 即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)十入2(0， 示的空间直角坐标1 .1 x,一a)=(一a入1a入1十x入2，-aλ2)， E(2.a.a).F(O,2.a). 系，则B1(0,0,3a) .A1 [-x=一a入1， 所以a=a以十，解得入=2=L. ∴AN=(-号0a), C(0,2a,0), -a=-a入2， D(a vaa) 于是A,F=号AC+A,E Nm=(号，号0) 设E(2a,0,x)(0 (三)创新发展 DB=(a,a,0),DF=(0,号，a）. ≤3a),则CE=(W2a,-√2a,x),B1E 解：(1)证明：设V在底面的射影为点O, 设平面AMN与平面EFDB的法向量分 则O为正方形ABCD的中心，如图， 别为m=(x1,y,为)和n=(22）， wa0-3a.BD=(2,0） 连接OE,因为E为BC的中点，所以易 得OE⊥BC.在正四棱锥V-ABCD中， 划/m·AN=0, 又CE.BD=a2-a2+0=0,故由题 m·NM=0, 意得2a+z2-3ax=0, VB=VC,则VE⊥BC,所以∠VEO即为 解得g=a或2a.故AE=a或2a. 二面角V-BCD的平面角，则∠VEO -号4十0X1十a=0, 答案：a或2a 60°，所以在Rt△VOE中，VE=2OE,又 4.证明：由二面角A1-AB-C是直二面 AB=BC=2OE,所以BC=VE. 4+分1+0X=0. a 角，四边形A1ABB,为正方形，可得 (2)取AB的中点G,以 .y1=-x1=-21,取名1=1， AA1⊥平面BAC. O为坐标原，点，OG, .平面AMN的一个法向量为m 又.AB=AC,BC=√2AB,.AB2+ OE,O币的方向分别为 (2,-2,1). AC2=BC2,∴.CA⊥AB, x轴、y轴、之轴正方向 建立空间直角坐标系 同理由/”·D形=0， ,.AB,AC,AA1两两互相垂直 n·DF=0. 得x2=一y22 以A为坐标原，点，AC, Oxy2,如图，设AB=2, AB,AA1所在直线分 则V(0,0,√3)，E(0,1,0),B(1,1,0), =-22,取2=1， 别为x轴、y轴、？轴建 .平面EFDB的一个法向量为n= A(1,-1,0),所以VA=(1,-1,-√3)， 立如图所示的空间直 (2,-2,1). 角坐标系· VB=(1,1,-3),VE=(0,1,-√5).设 .m=n,∴.m∥n,∴.平面AMN∥平面 设AB=2,则A(0,0,0), VF=入（入≠1），则VF=(,-λ，一√3)， EFDB. B(0,2,0),A1(0,0,2), 10.证明：如图所示，以 则BF=VF-VB=(λ-1，-A-1,-√3入 C(2,0,0),C(1,1,2),B1(0,2,2). AC的中点O为原 +√3)，从而|cos〈