“四翼”检测评价(九) 二面角-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

AP·Ad 2 AC=√AB+BC=V5,∴.tan∠PCA (2)法一：如图，取 则sin0 APIAC √2+m·√2 _PA-PA-2/5.:.PA-2. EC的中，点H,连接 2 AC5 EH,GH,CH. 5 N2+m 因为∠EBC=120° ∴.以点A为原点，AB 所以四边形BEHC AD,AP所在直线分别 cos 0-v1-sin0= ,依题意 为菱形， /2+m 为工轴、y轴、之轴建立 所以AE=GE=AC 空间直角坐标系， 区=32，解得m= =GC= 3,故当m=3 .B(2,0,0),C(2,1, √32+2 0),D(0,2,0),P(0,0, =13. 时，直线AP与平面BDD1B所成角 2).BC=(0,1,0),CP=(-2,-1,2). 取AG的中点M,连接EM,CM,EC, 的正切值为3√2 则EM⊥AG,CM⊥AG, 5.解：(1)证明：因为M,N分别为BC, 设CE=ACP=(-2x,-A,2λ)，0≤A≤1， 所以∠EMC为所求二面角的平 BC1的中，点，所以MN∥CC. 则E(2-2,1-入，2入)， 面角. 又由已知得AA1∥CC, .DE=(2-2,-1-入，21). 又AM=1,所以EM=CM=13-1 所以AA1∥MN. 设平面PBC的法向量为n=(x,y,之)， =2√3. 因为△ABC是正三角形， n·BC=0, ,/y=0, 所以B,C,⊥AV. 则 ln·CP=0, 即-2.x-y+2x=0, 在△BEC中，由于∠EBC=120°， 由余弦定理得EC=2十22一2X2X× 又B,C⊥MN,A,N∩MN=N, 令x=1,则y=0,x=1,.n=(1,0,1). 2×cos120°=12， 所以B,C,⊥平面A,AMN: 设直线ED与平面PBC所成的角为O, 所以EC=2√3，所以△EMC为等边 因为BCC平面EB,C,F 则0=45°，.sin0=cos(DE,n) 三角形， 所以平面A1AMN⊥平面EB,C,F. 2-2以+2 √2 故所求的角为60° (2)由已知得AM⊥ BC.以M为坐标原1三三 √2·√/(2-2)2+(-1-)2+(2) 2 法二：以B为坐 标原点，分别以 点，MA的方向为x 解得入=3，当点E为线段PC的靠近 BE,BP,BA所 轴正方向，|MB|为 点C的三等分点时，直线ED与平面 在的直线为x 单位长，建立如图所」 PBC所成的角为45 轴、y轴、轴， 示的空间直角坐标 “四翼”检测评价（九） 建立如图所示 . 系Mxy之，则AB= 的空间直角坐 (一)基础落实 标系， 2,AM=√3.连接NP,则四边形 1.C2.D3.C4.B5.B 由题意得A(0, AONP为平行四边形，故PM=2V3 ,:6.60°或120° 0,3),E(2,0,0),G(1,3,3),C(-1 3 8.90° (5g)小 9.解：因为DA,DC, 中 √3,0)，故AE=(2,0,-3),AG=(1, DE两两垂直 3,0),CG=(2,0,3), 由(1)知平面A,AMN⊥平面ABC. 所以建立空间直 设m=(x1y,之)是平面AEG的一 作NQ⊥AM,垂足为Q, 角坐标系，如图 个法向量， 则NQ⊥平面ABC 所示 设Q(a,0,0), 因为BE与平而 由/m·AE=0 ABCD所成角为 m·AG=0 可得2x31=0. x1+/3y1=0. 则NQ=/4- 60°，即∠DBE= 取名=2，可得平面AEG的一个法向量 60,所以品- m=(3,-√3,2) B(a.1V4-(g-a) 设n=（(x2,y2,2)是平面ACG的一 43 由AD=3可知DE=3√6，AF=√6， 个法向量， 故B,E= 2W3 则A(3,0,0),F(3,0,√6)，E(0,0, a 由n·AG=0 可得x十3y2=0, 3 3V6),B(3,3,0),C(0,3,0).所以BF n·CG=0, 2x2十32=0. 4-(2-a)) =(0,-3√6)，EF=(3,0,-2W6) 取2=一2，可得平面ACG的一个法 设平面BEF的一个法向量为n=(x 向量n=(3,-√3，-2). B210 所以cos〈m,n)= m·n 3 则：F0即 -3y+√6=0， m·n 又n=(0,-1,0)是平面A,AMN的法 1 n EF=0, 9+3-4= 3x-26g=0, 向量， 4×4 2· 令之=√6，则n=(4,2,√6).由题意知 由图知二面角EAGC为锐角， 故sin(交-(n,B,E）=cos<n,B,E) AC⊥平面BDE, 故所求二面角EAGC的大小为60° n·B,E 所以CA=(3,一3,0)为平面BDE的 (二)综合应用 =0 10 所以直线B1E 法向量 1.选C