“四翼”检测评价(八) 直线与平面的夹角-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

:AB,·m=0×1+2×(-1)+2×1 DN⊥AN,在Rt△AND中， 设直线BC与平面PAB所成的角为 =0,.AB⊥m. sin∠DAV=DY= a,平面PAB的一个法向量为n=(x, ,所以直线AD 又AB,庄平面A,C,C,.AB,∥平 AD 3 y,x),因为AB=(-a,a,0), 面ACC. 与平面PAC所成角的正弦值为. 5.解：(1)证明：因为四 PD-(号，号-2an0) 棱锥P-ABCD的底 10.解：：四边形ACDE是正方形， 所以n·AB=0,n·PD=0, 面是正方形，且 .EA⊥AC,AM⊥EC 一ax+ay=0, PA⊥平面ABCD, .·平面ACDE⊥平 所以PA,AB,AD 面ABC, 得 tan0·x=0, 两两互相垂直」 ∴.EA⊥平面ABC. 以点A为坐标原 以，点A为原点，过 A 点，AB,AD,AP所在直线分别为x 点平行于BC的直线 可取n-(u品小 轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直 为工轴，分别以AC和 又因为BC=(0,一a,0),所以sina 角坐标系. AE所在直线为y轴 和之轴，建立如图所示的空间直角坐 n·BC 2 则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2), C(2,2,0),D(0,2,0).因为E,F,G分 标系Axy≈ n·|BC 别是BC,PC,CD的中，点，所以E(2,1, 设EA=AC=BC=2, aV2+3 tan0 则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0) 0),F(1,1,1),G(1,2,0),所以BG= E(0.0,2). 因为0<0<5，所以0<sin0<1,则0 (-1,2,0),AP=(0,0,2),AE=(2,1, ,M是正方形ACDE的对角线的交 0),因为BG·AP=0,且BG·AE=0, 点，.M(0,1,1). <sin a< 2 所以BG⊥AP,BG⊥AE,又AE∩AP (1)证明：AM=(0,1,1),EC= =A,AEC平面PAE,APC平面 又因为0≤a≤号，所以0<a<开，即 PAE,且BG屯平面PAE,所以BG⊥ (0,2,0)-(0,0,2)=(0,2,-2),CB =(2,2,0)-(0,2,0)=(2,0,0), 直线BC与平面PAB所成角的取值范 平面PAE. (2)假设在线段BG上存在点H,使得 ∴.AM·EC=0,AM·CB=0. 国为(0，牙)，故选C ..AM EC.AMI CB. FH∥平面PAE.连接FH.设BH= 又EC∩CB=C, 3.解析：取BC的中点 λBG(0A≤1)， .AM⊥平面EBC O,连接AO,DO,建 则Fi=FB+BH=AB-AF+ABG 立如图所示的空间直 (2).AML平面EBC,∴.AM为平面 角坐标系Oxyz. =(1-λ，2λ-1，一1).因为FH∥平面 EBC的一个法向量. 设BC=1, PAE,BG⊥平面PAE, :AM=(0,1,1),AB=(2,2,0), 所以BG·FH=(-1)×(1-A)+2×(2 AB·AM 则Ao0.）, 一1)十0×（一1）=5λ一3=0，所以入= ∴.cos(AB,AM①= 5,所以在线段BG上存在点H,使得 1AB1·AM2 B(0,-号0)， .(AB,AM)=60..直线AB与平 FH/年南PAE,且是 面EBC所成的角为30°. c(o,o)p(90.o） (二)综合应用 “四翼”检测评价（八） 1.选C如图，以点D为 所以B丽=(0，受） (一)基础落实 坐标原，点，DA所在直 1.A2.C3.B 线为x轴，DC所在直 线为y轴，DD,所在直 D=(20).币=(，-0)片 4.选ABD设a与l所成的角为0， 由公式c0s0=c0s01c0s02, 线为之轴建立空间直 设平面ABD的法向量为n=(t,y,2) 角坐标系，并设正方体 1 其中0=号a∈[0，受]，得0≤cos0 的棱长为1，由题意知A1(1,0,1), n·BA=0, 所以 2+ 2=0, 则 <,所以晋<K受 E(1,2,0）,C(0,1,0),则A,E n·BD=0, x+2y=0 5.A6.238 (o,号-1C=(-1,2o)设 取x=1,则y=一√3，=1，所以n= 34 7.3 4 8 6 平面AECF的法向量为n=(x,y,z), (1,-√3,1)，所以c0s〈n,CD〉= 9.解：（1)证明：连接 BD,易知AC∩BD AE·n=0, 2y-2=0, 2+2 -H.BH-DH. 由 可得 =15 因此直线CD与平面 又由BG=PG,故 EC·n=0, -x+2y=0, √5×1 5 GH∥PD. 又因为GH士平面PAD,PD二平面 令x=1,则y=2,=1,则n=(1,2,1) ABD所成角的正弦值