1.2.3 直线与平面的夹角（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

二、在导向训练中品悟核心价值 C0h,0,P0.0,0.E(0,9,) 故AD=√2a.在△APC中，AP=2a, 1.选ABC对于A,因为AP·AB=-2 2+4=0,所以AP⊥AB,所以AP1 DE=(0,台，台)，PE=(a6,-b AC=AB·sin60°=2aX号=3a, AB,故正确：对于B,因为AP·AD PC=(0,b,-b) 所以PC=√3a+4a=√7a,设 ∠ACP=0,则AE=AC·sin0=ACX 一4十4十0=0，所以AP⊥AD,所以 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y, AP⊥AD,故正确：对于C,因为AP =5a×2a=25a=2I4,所 AP ·F5即-b=0. ax+by-bz=0, a= AB,AP⊥AD,且AB∩AD=A,所以 ),则 PC √/7a n·PC=0, AP是平面ABCD的一个法向量，故正 2 v2Ta 确；对于D,易得BD=AD-AB=(2, 解得二0令=1，则n=(0,1,1, AE 7 V42 1y=, 以sin∠ADE AD 2a 7 3,4),假设存在实数入，使得AP= 所以D正=名，所以D正∥则DE -1=2λ， 平面PBC 即AD与平面PC夫角的正孩值为号 入BD,则2=3入，此时1无解，故错 (2)四面体DBEF是整臑. 对点训练 -1=4入， 由(I)知DE⊥平面PBC,因为BE,EFC 解：作COa,O为垂足，连接AO,MO, 误.故选A、B、C 平面PBC,所以∠DEB=∠DEF=受，因 则∠CAO=30°，∠CMO 2.解析：以D为原 为CM与a所成的角. 点，DA,DC,DD 为PB⊥平面DEF,所以∠BFE=∠BFD 在Rt△AOC中，设CO= 所在直线分别为 1,则AC=2,在等腰 x轴、y轴、轴 受，所以四面体DBEF是整腾. Rt△ACB中，由AC=2得CM=√2.在 建立如图所示的 1.2.3直线与平面的夹角 Rt△CMO中，sin∠CMO= CO 空间直角坐标系 CM 则M(2,0,0) 落实必备知识 (一)1.(3)射影(4)[0°，90] A(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1), 2.∠CM0=45 2.(1)cos 0 cos C(0,1,DMA=(2,0,1),M形[即时小练] [题点二] [典例]解：依题意 =(3,1,0) 1.(1)× (2)/ 2.6 以A为坐标原，点，分别 6 设P(xy,0)(0<x<1,0<y<1),则 (二)号 以AB,AD,AE的方向 -(v,n〉〈y,n〉- 为x轴、y轴、义轴正方 直线B,P的一个方向向量BP=(x 向建立如图所示的空 (2)sin(v,n> cos(v,n) 1,y-1,-1). 间直角坐标系，可得 即时小练 设平面A,BM的一个法向量为n= A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1, 1.(1)× (2)/2.C3.B (x1y121） 0),E(0,0,2) 强化关键能力 设CF=h(h>0),则F(1,2,h)」 n·MA=2+名=0， 题点一] (1)证明：依题意知，AB=(1,0,0)是平 则 n…Mm=+y=0, [典例门解：(1)证明：因为PA⊥平面 面ADE的法向量，又BF=(0,2,h),可 ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC.又 ∠BCA=90°，所以AC⊥BC,又ACC平面 得BF·AB=O,因为直线BF￠平面 21= 21, PAC,PAC平面PAC,PA∩AC=A, ADE,所以BF∥平面ADE 即 令x1=2,则y=名所以BC⊥平面PAC, (2)依题意，BD=(-1,1,0),BE=(-1, y=一21· (2)取PC的中，点E,连接 0,2),CE=(-1,-2,2). =-1,∴.n=(2,-1,-1). AE,DE,如图. 设n=(x,y,x)为平面BDE的法向量， 若B,P∥平面A1BM,则n⊥B,P,即因为D为PB的中点，所以 :DE∥BC,所以DE⊥平面 则”：BD=0 ∫一x十y=0, n·B,P=2(x-1)-（y-1)+1=2.xPAC,所以AE是AD在平 n·BE=0, 1-x+2x=0, -y=0,.y=2.x 面PAC内的射影，所以 不妨令之=1，可得n=(2,2,1). 又CP=(x,y-1,-1), ∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角 CE·n= 4 因此有cos(CE,n)= 设PA=AB=a,在Rt△ABC中，因为 CE 9 即CP=(x,2x-1,-1), ∠ABC=60°，∠BCA=90°，所以BC= ∴.|CP|=√/x+(2.x-1)2+(-1)= 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦 5-4+2=V5(x-号)+ 2,DE= 4,在Rt△ABP中，A