1.2.2 空间中的平面与空间向量（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

题点二] V2(a-）+号a∈[0.1.所以典例行 (2)连接B1C.由(1)得，B1C=(0,2,2) 证明：(1)以D为原，点，向量 AB,=(2,0,0),VM=(0,-1,1) 当口=时，AP川取得最小值，最小 DA,DC,DD1的方向分别为x轴、y轴、z 设平面A,B,C的一个法向量为n=(x, 轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 值为3② 设正方体的棱长为1. 1n·B1C=0, y,),则 4 则D0,0,0),A(1,0,0) n·AB=0, 答案：(1)平行(2)3y2 E(1,1）.C0.1,. 令2=1，得n=(0,-1,1), 4 ∴n=NM,∴.MN⊥平面AB,C. 1.2.2 空间中的平面与空间向量M(1,0,2),DA=(1, [题点三] 落实必备知识 [典例]证明：如图，连接AO并延长交 (一)1.非零向量垂直n⊥a2.(1)方向 0,0,D=(1.1,2） BC于点E,连接PE.PA⊥平面ABC 向量(2)平行3.(1)1⊥a1∥a或lCa AE⊥BC(由于O是 (2)a1⊥a2 a1∥a或与2重合 CM=(1,-1,-). △ABC的垂心)，.PE [即时小练] 设平面ADE的一个法向量为m=(a,b,c), BC(三垂线定理)， 1.(1)/(2)、/2.BC3.C 点Q在PE上 m·DA=0, a=0, AE⊥BC, (二)1.(1)垂线射影投影(2)所有：则( 点射影射影2.一条直线射影 m·DE=0a+b+ 2c=0. 则由PE⊥BC, 垂直3.一条直线 一条斜线垂直 AE∩PE=E 令c=2,得m=(0,一1,2) [即时小练] →BC⊥平面PAE→BC⊥OQ. ② 1.C2.90 m·GM=0.-1,2)·(1,-1,-号) ::连接BO并延长交AC于，点F,则BF⊥AC 连接BQ并延长交PC于点M,则BM PC 强化关键能力 0+1-1=0,.CM⊥m. 连接MF [题点一] 又CM过平面ADE,∴.CM∥平面ADE. ,PA⊥平面ABC,BF⊥AC [典例]解：因为PA=PB,F为AB的中(2)由D1(0,0,1),A1(1,0,1), ,BF⊥PC(三垂线定理) 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面F(0,号，0)，得D,A=(1,0,0), 点，所以PF⊥AB, (BM⊥PC, BF PC. →PC⊥平面BMF→ PAB∩平面ABCD=AB,PFC平 面PAB D=(o,2,-1) BM∩BF=B PC⊥OQ. ② 所以PF⊥平面ABCD 设平面A1D1F的一个法向量为n=(x, 由①②知，OQ平面PBC 连接AC因为AB BC,∠ABC=60°， n·DA1=0, x=0, [对点训练] y,)，则{ 证明：连接 AC1,如图 所以△ABC是等边三 n·D,F=0 2y-2=0. 所示 角形，所以CF⊥AB.以 令y=2,则n=(0,2,1) CC F为坐标原，点，建立空 m·n=(0,-1,2)·(0,2,1)=0-2+2 √6 =,CA 间直角坐标系（如图所示）. 0,.m⊥n..平面ADEL平面ADF. 由题意得P00.0).P(0,0,5) [拓展]证明：如本例解析图， √6 E(1.1,）N(分号)A1.0,0, =√2， B1(1,1,1),C(0,1,0) ,.Rt△ACC Rt△MCA,∴.∠ACC ∠MAC,.∠AMC+∠ACC= 所以厘-(o,99)m=(-10): m=(←合-合，2)A丽=0 11 ∠AMC+∠MAC=90°，.AM⊥AC. 设平面DEF的一个法向量为m=(x,y,), ABGA,E,C为直三棱柱，BC⊥CC. 1,1),AC=(-1,1,0), 又.B1C1⊥AC,A1C1∩CC1=C1, .BC1⊥平面AC,由三垂线定理知， m·FE=0, + EN·AB=0,EN·AC=0, 即 4=0, m·FD=0, .E⊥AB,EN⊥AC,即EN⊥AB, AB1⊥A1M. x 2y=0. EN AC. ■浸润学科素养和核心价值 又AB,∩AC=A,.EN⊥平面BAC. 2=一y 一、在典题训练中内化学科素养 所以 x=5,令y=2,则x=3,= 对点训练 选A以，点D为坐标原点，DA,DC, 23y, 证明：(1)依题意得， DD所在直线分别为x,y,x轴建立空间 一2.所以平面DEF的一个法向量为m ∠ABC=90°， 直角坐标系（图略).设AB=2,则A,(2, BB1⊥BC,BB⊥ 0,2),D(0,0,0),D1(0,0,2),B(2,2,0), =(5,2,-2) AB,以B,为原点， 工对点训练] 所以M(1,0,1),N(1,1,1),所以AD= 解：A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0), AB,BC,