1.2.5 空间中的距离（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

由OB=OC=OD=1,得BC⊥CD,所以 1 2 X2X2=2,BE=√2，则BO=1.∴.四 对点训练 BC=√3，所以三棱锥A-BCD的体积为 解析：建立如图所示的空 合××1xx1-9 面体ABCD的体积为 1×2×1= 间直角坐标系，则A(2,0 3· 0),E(0,2,1),F(1,0,2) 二、在导向训练中品悟核心价值 答案：号 EF=(1,一2,1)，设点 Q满足FQ=λFE, 1.选D如图所示，欲使 1.2.5 空间中的距离 得三棱锥体积最大， 且AQ⊥EF,则AQ=AF+AFE=(一1， ,三棱锥底面积一 落实必备知识 0,2)十(-1,2，-1)=(-1-入，2A,2 1.(1)线段长(2)垂线段垂线段 最 入)， 定，，只须三棱锥的 高最大即可，即当平 短连线2.(1)垂线段垂线段 最 A反⊥EF,.AQ·EF=0. 面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最 连线 (2)BA·n 3.任意一点 .-1-入-4以+2-入=0，解得入=6· 大，当以A,B,C,D四点为顶点的三 n 棱锥体积最大时，二面角BACD的 4.任意一点 (1)公垂线公垂线段 A0=(-日，g),1a01 大小为90°. 「即时小练 2.选B取AB的中点 1.(1)/(2)×2.A 强化关键能力 √()+()+(g)- 6 O,连接OC,OA1则 AB⊥OC,AB⊥OA1, [题点一] 故点A到直线EF的距离为I7四 6 建系如图所示，设 [典例]解：设AB=p,AC=q,AD=r. OA=OB=1,则OA1=OC=√3，则平 由题意p=q=r=a,且p,q,r三 答案：174 面ABB的法向量为m=(1,0,0). 向量两两夹角均为60°. 题点三] B=(0,1,0),C(-√3,0,0)，A1(0,0, 不=N-AM=号 (AC+AD) 「典例]解：以D为原 3),M(0,1w3),B1(0,2,w3) 点，DA,DC,DD1所在直 则BC=(-√3，-1,0)，BB=(0,1W3). 2AB-(q+r-p). 线分别为x轴、y轴、之轴 建立空间直角坐标系，则 设平面BB1C的法向量为n=(x,y,z), P=·m=子g+r-p) E(2W2,√2,0)，F(√2， 则{ …BC=0, -3x-y=0, 22,0),B(2√2,2√2， n·BB,=0, y+3=0. (g+rp)=}[g+r+p+2g· 1),B(2√2,2√2,0)，D(0,0,4),所以 q·p-r·p) 令x=1,得n=(1,-√3,1) EB1=(0,2,4),FB1=(W2,0,4),B1D1 [e+++2(号-号)] a m·n =(-2√2，-22,0).设n=(x,y,)是平面 cos(m,m〉=m,n 1-5 √5 51 ×2a2= 1 BEF的法向量，则n⊥EB,n⊥FB,,所以 3.解析：设CD=x(0 2 x3),则PD=3 MN-,即MN的长为号 N2y+4=0,所以x=y=-2√2x,所以 √2x+4x=0, x,因为AB⊥平面 . 可取n=(2√2,2√2，一1)，所以点D1到 PAD,所以ABL 对点训练] PD,又PD⊥AC,所 解：因为CD=CA+AB+BD, 平而B,EF的距离d=BD·n n 以PD⊥平面ABCD,则四棱锥所以CD2=CD·CD=(CA+A店+ 1-(2V2)2-(2W2)2-1×01=16√17 P-ABCD可补形为一个长方体，球O BD)2=ICA+AB2+1BD+ 17 的球心为PB的中点，从而球心O的 /8+8+1 2(CA·AB+AB·BD+CA·BD) 对点训练] 表面积为：4π√云+x十(3-x)月 1.解析：由题意得AB=(-1,2,2),AC 2 2+1+3+2[0+0+1CA1·BD1cos(180 =(一2，一2,1)，设平面ABC的法向 =3π[(x-1)2+2]≥6元. 60°)]=4+1+9+2X2×3× 量为n=(x,y,),则n·AB=-x十 四棱锥的体积为V=言×3-d(0< (-2)]=8. 2y+2x=0,n·AC=-2x-2y+x x<3),则V=-x2+2x,当0<x<2时， 0,解得x=-2y,=-2y.令y=-1, V>0,当2<x<3时，V'<0,所以Vm 故|CD1=2√2，即CD长度为2√2. 得x=之=2..平面ABC的一个法向 =V(2),此时AD=CD=2,PD=1, [题点二] 量为n=(2,-1,2).又OA=(2,2,0), 过D作DH⊥PC于H,连接AH,则：[典例]解：以B为原 ,.原点O到平面ABC的距离为d= ∠AHD为二面角A-PCD的平面角. 点，BA,BC,BB1的方 1OA·n= :DH=2X1=25 向分别为x轴、y轴 n