1.2.4 二面角（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

(2)NC-(-号，1,0），设a=(ye)为 由(1)可设Q(a,0,1), 平面a所成角为0，则sin0=|cos〈m 则DQ=(a,0,1) 平面CMV的一个法向量。 n〉= m·n 设n=(x,y,之)是平面 mn 1⑩0，直线1与 35 a·CM=0, x-y+2=0, QCD的法向量， n·DQ=0, 平面a所成角的正弦值为0. la·NC=0, 2x+y=0, 则 n·DC=0. 1.2.4二面角 令x=2,得a=(2,1,一2)， 即/a.x十之=0， 落实必备知识 1 1y=0. (一)1.其中的每一部分一条直线出发 2 因为|cos(a,SV) 可取n=（一1,0，a).所以cos〈n,PB〉= 的两个半平面这两个半平面任取一 3X② 2, n。PB -1-a 点垂直2.平面角大小直二面角 即时小练 所以SN与平面CMN所成角为45 n·|PB3·1+a 1.AB 2.C 设PB与平面QCD所成角为0，则sin0 [题点三] (二)(n1,n2）元-(n1,n2〉sin(n1,n2》 [典例]解：法一：连接AB,AC,,OA= =5a+1L=s 3 3 /1+2a 因为 即时小练] OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°， V1+a 3 a2+11 1.AB 2.7 .AB=AC=a.又.BC=√2a,∴.AB+ 3/1+ ,当且仅当a=1时等 AC=BC 强化关键能力 △ABC为等腰直角三角形. 号成立，所以PB与平面QCD所成角的 题点一] 同理△BOC也为等腰直角三角形 区资位的最大位为写 典例] 解：取VB的中点为E,连接 取BC中点为H,连接 AE,CE,如图. AH,OH,如图. 二、在导向训练中品悟核心价值 .VA-VB-VC=AB. .AE⊥VB,CE⊥VB. ,OH-2 AH=② 1.选D如图，设A在平 4, 面BPC内的射影为O, ∴.∠AEC是二面角A-VB-C .∠APB=∠APC. 的平面角. 又AO=a,则AH+OH ∴.，点O在∠BPC的角 设AB=a,连接AC,在 =AO.∴.△AHO为等腰 直角三角形， 平分线上，.∠OPC 30°，∠APO为PA与平 △AEC中，AE=EC=臣。 2 ,∴.AH⊥OH 又.AH⊥BC,OH∩BC=H,.AH⊥ 面PBC所成的角. AC=√2a,由余弦定理可知：cos∠AEC .∴.cos∠APC=cos∠APO·cos∠OPC, 平面a.∴.OH为AO在平面a内的射影， 即c0s60°=cos∠APO·cos30°， (）广+(a)-a ∠AOH为OA与平面a所成的角. 在Rt△AOH中，sin∠AOH=AH=2 cos∠APO=Y3 3 AO 2 2xa× 点∠A0H=45.0A与平面&所成的2.选C 由题可知， AA1⊥AB,AA⊥ :所求二面角AVBC的余弦值为一3 角为45° 法二：.∠AOB=∠AOC=60°. AC,AB⊥AC,故以 [对点训练 点A为坐标原点 .OA在α内的射影为∠BOC的平分线， 解：(1)证明：，平面VAD⊥平面ABCD, 交线为AD. 作∠BOC的角平分线OH交BC于H. 建立如图所示的空 间直角坐标系，则 ABC平面ABCD,AB⊥AD. 文OB=OC=a,BC=W2a,∴.∠BOC= A(0,0,0),C(2,0, ,AB平面VAD. 90°.故∠BOH=45°，由公式c0s0= 0),B(0,0,2),A(0,2,0),B1(0,2 (2)如图，取VD的中点E,连接AE,BE Cos0·cosf2, ·△VAD是正三角形， 得cos∠AOH=CoS∠AOB=V2 2.D(201）ABE=(0,22,AC cos/BOH 2 AE LVD,AE-V3 AD ∴.OA与平面a所成的角为45 =(W2,0,0),连接AC1与CA1交于点 .AB⊥平面VAD, [对点训练] ∴.AB⊥AE. 解：连接BD,由题意得∠CBD=45°， E,连接DE,则E(停1，o),DE- 又由三垂线定理知BE」VD. ∠PBD即为直线PB与平面所成角O. (0,1,一1)，易知平面ABBA1的一个 因此，∠AEB是所求二面角的平面角. :cos∠PBC=cos0·cos∠CBD, 法向量为AC=(√2,0,0).因为AB1· ∠PBC=60°.即cos60°=cos0·c0s45°， 于是1∠AEB=AE=3,即平面 DE=2×1+2×(-1)=0,AC· AE cos -2 ,0=45°. DE=0,所以AB,⊥DE,AC⊥DE, VAD与平面VDB夹角的正切值为2y 3 浸润学科素养和核心价值 所以DE⊥平面ACB,即点E与点 题点二 一、在典题训练中内化学科素养 E'重合，所以BE=(号1，-2）设 典例 解