专题01 集合与逻辑（15个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题01集合与逻辑（15个考点） 【知识梳理+解题方法】 一．集合的含义 【知识点的认识】 1、集合的含义： 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体． 2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． （1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素． （2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．） 用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征． 【典型例题分析】 题型一：判断能否构成集合 典例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它． （1）小于5的自然数； （2）某班所有个子高的同学； （3）不等式2x+1＞7的整数解． 分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可． 解答：（1）小于5的自然数为0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}． （2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合． （3）由2x+1＞7得x＞3，因为x为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}． 点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比较基础． 典例2：下列集合中表示同一集合的是（　　） A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1} C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2} 分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断． 解答：A、M＝{（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误； B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误； C、M＝{（4，5）} 集合M的元素是点（4，5），N＝{（5，4）}，集合N的元素是点（5，4），故C错误； D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确； 故选D． 点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题． 题型二：集合表示的含义 典例3：下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义． 分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A为数集，B为数集，C为点集． 解答：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R； B是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}； C为点集，是由抛物线y＝x2+1上的点构成． 点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构成． 【解题方法点拨】 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么． 二．元素与集合关系的判断 【知识点的认识】 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的特征： （1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合． （2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素． （3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系． 【命题方向】 题型一：验证元素是否是集合的元素 典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证： （1）3∈A； （2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A． 分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可； （2）用反证法，假设属