专题08 函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题08 函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值 考点预测： 1.单调性与最大（小）值 （1）增函数 设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. （2）减函数 设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. （3）单调性、单调区间、单调函数 如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间. 如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数. （4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下： ①设值：设，且 ； ②作差： ； ③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底； ④判断符号，得出函数的单调性. （5）函数的最大值与最小值 ①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足: （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么我们称M是函数的最大值. ②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足: （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得. 那么我们称是函数的最小值. 2.奇偶性 （1）偶函数 设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 关于偶函数有下面的结论： ①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件； ②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立； ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. （2）奇函数 设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 关于奇函数有下面的结论： ①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件； ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立； ③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点； ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 【典型例题】 例1．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数， (1)若在上是奇函数，求的值； (2)当时，求在区间上的最大值和最小值； (3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示） 【解析】（1）因为在上是奇函数， 所以恒成立，即恒成立. 所以恒成立， 所以. （2）当时， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的值得范围为，其中时，， 函数在上单调递增， 所以函数在上的值域为，其中当时，； 所以当时，，当时，. （3） 因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递增， 当时， 当时，令，可得 因为当，时，函数既有最大值又有最小值， 所以. 例2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求当x＞0时，函数的解析式； (2)解不等式． 【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，， 故， 故当x＞0时，． （2）由，得， 故或． 如图所示，画出函数的图象．    由图易得的解集为（0，2），的解集为， 故不等式的解集为． 例3．（2022·全国·高一课时练习）已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”． (1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由． (2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集． 【解析】（1）取，得，所以． 取，，得，于是， 所以函数是奇函数， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（0，1）． （2）设，则，故， 而， 所以在R上是增函数， 由，得，解得或． 所以不等式的解集为． 例4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：. 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则， 即，可得，则， 所以，，则，因此，. （2）证明：函数在上是增函数，证明如下： 任取、且，则 ， 因为，则，，故，即. 因此，函数在上是增函数. （3）因为函数是上的奇函数且为增函数， 由得， 由已知可得，解得. 因此，不等式的解集为. 例5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数对任意的m，都有，且时，． (1)求的值： (2)证明在R上为增函数； (3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：． 【解析】（1）令，则，所以； （2）令，，且，则，所以， 故，所以在R上是增函数； （3