第12讲 解三角形解答题十大题型总结-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第12讲 解三角形解答题十大题型总结 【题型目录】 题型一：利用正余弦定理面积公式解题 题型二：解三角形与三角恒等变换结合 题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题 题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题 题型五：角平分线相关的定理 题型六：有关三角形中线问题 题型七：有关内切圆问题（等面积法） 题型八：与向量结合问题 题型九：几何图形问题 题型十：三角函数与解三角形结合 【典例例题】 题型一：利用正余弦定理面积公式解题 【例1】△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【详解】：（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 【例2】的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 【答案】（1）；（2）2． 【详解】：（1），∴，∵， ∴，∴，∴； （2）由（1）可知， ∵，∴， ∴， ∴． 【例3】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；（2）若，，求的周长. 【答案】（1）（2） 【详解】：（1）由已知可得 （2） 又 ， 的周长为 【例4】已知，，分别为三个内角,,的对边，. (Ⅰ)求； (Ⅱ)若=2，的面积为，求，. 【答案】(1) (2)=2 【详解】(Ⅰ)由及正弦定理得 由于，所以， 又，故. (Ⅱ)的面积==,故=4， 而故=8，解得=2 【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．． (1)求角B的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1),(2) 【分析】（1）利用正弦定理化简求解即可. （2）利用三角函数的和差公式，得到，进而利用正弦定理可求出，利用面积公式即可求解. （1） 由及正弦定理得， 因为，则且， 所以， 即，则，可得，所以． （2） ， ，所以，所以， 故． 【题型专练】 1.已知分别为三个内角的对边， （1）求角 A （2）若，的面积为；求. 【答案】（1）（2）b=c=2 【解析】：（1）由及正弦定理得， 因为，所以． 由于，所以．又，故． （2）的面积，故，而，故． 解得． 2.已知分别是内角的对边， ． （1）若，求 （2）若，且求的面积． 【答案】（1）；（2）1 【解析】：（1）由题设及正弦定理可得 又，可得 由余弦定理可得 （2）由（1）知 因为，由勾股定理得 故，得 所以的面积为1 3.（2021新高考2卷）在中，角、、所对边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角转化、和角的正弦公式进行化简求值. （2）利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求解. （1） 由正弦定理可知：， 得， 因为， 得， ∵，∴，， ∴，即． （2） 由，得， 由余弦定理可得：， 又，， 则，即，解得， 故的面积为． 5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在中，角的对边分别为. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求外接圆的半径. 【答案】(1),(2)1 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系求出，即可得解； （2）设外接圆的半径是，由正弦定理得到，，再由面积公式计算可得. （1）解：由得，且， 解得或（舍去）， 由因为，所以， 因为，所以， 即，化简得， 因为，所以. （2）解：设外接圆的半径是， 因为，， 所以，解得， 故外接圆的半径是1. 题型二 解三角形与三角恒等变换结合 【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由余弦定理可得， 的面积； （2）， ， ， . 【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）因为，所以， 即，解得，又， 所以； （2）因为，所以，即①，又②， 将②代入①得，，即，而，解得， 所以，故， 即是直角三角形． 【例3】在中，满足 ． （1）求