19 计数原理-2023年老高考理科数学普通高中学业水平等级性考试总复习大纲

十九计数原理 642.分类加法计数原理：完成一件事有从甲地到乙地共有N=_5_种出行方案、 n类不同方案，在第1类方案中有m_1种不甲地乙地) 同的方法，在第2类方案中有m_2种不同 的方法，…，在第n类方案中有m_。种不同 的方法，那么完成这件事共有N=_m_1+m_2+…+m，种不同的方法。 素养拓展从集合运算的角度分析分类加法计数原理：设完成一件事情的方法的集合是 U，且ead(U)=N。如果完成这件事的方法可以区分为互不相同的n类，记为A_1，A_2…， A_a，即A_1，A_2，，Aa是U的两两不交的子集，且A_1∪A_2∪…∪A_a=U，设card(A_1)=m_1， card(A_2)=m_1，…，card(A_a)=m_a，那么N=card(U)=card(A_1∪A_2∪…∪A_n)=cand(A_1)+ card(A_2)+…+card(An)=-m_1+m_2+…+m 643.利用分类加法计数原理解题的步骤。 例设a，b，ce{1，2，3，4|，若以a，b，c为三条边的长构成一个等腰三角形，求这样的 三角形的个数。 根据条件将完成事》分类。→解：设a，b是腰长，根据腰长分四类： 件的所有方法进行 ┌第1类，当a=b=1时，c<a+b=2，则c=上； 分类． 第2类，当a=b=2时，c<a+b=4，则c=1，^2，3； 分别求出每一类中，计数2- 第3类，当a=b=3时，c<a+b=6，则c=1，2，34﹔ 方法的个数_ _____ 根据分类加法计数第4类，当a=b=4时，c<a+b=8，则c=12，34 原理求和____，结论⊖—→因此符合条件的三角形的个数为⊥+3+4+4=12 644.分步乘法计数原理：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m_1种不同的方法， 做第2步有m_2种不同的方法，…，做第n步有m。种不同的方法，那么完成这件事共 计数原理·理科数学 ﹒309· 有N=mxm×…xm。 种不同的方法 从甲地到乙地共有 N=6种出行方案， 飞机1 汽车1 飞机2 北京方达一平教育 飞机3 汽车2 素养拓展从集合运算的角度分析分步乘法计数原理：设完成一件事情的方法的集合 是U,且card(U)=N.如果完成这件事需要分成n个步骤，记为B1,B2,…,Bn,即U= （66,,b)ib,eB,2eB,…beB.,2cadB)=m,cundB) card(Bn)=mn,那么W=card(U)=card(B,)×card(B2)×…x card(B.) 9 m1×m2××mn 北京宏 645.利用分步乘法计数原理解题的步骤， 例在作家马伯庸的小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望 云达 楼传递信息如图所示是望楼传递信息的一种方式，在九宫格中，每个小 方格可以在白色和紫色之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组 合，即代表512种不同的信息.现要求每行、每一列上有且只有1个紫 色小方格（如图所示即满足要求），则一共可以传递多少种信息？ 根据条件将完 分步①→解：根据每行中紫色小方格的位置，可分三步 成事件的过程 宏达一言 第1步，在第一行中，选择1个位置为紫色小方格，有3种情况 合理分步 第2步，在第二行中，选择1个位置为紫色小方格，且不与第一行 求出每一步的 的紫色小方格同列，有2种情况； 方法数 计数② 第3步，在第三行中，选择1个位置为紫色小方格，且不与第一 根据分步乘法 二行的紫色小方格同列，有1种情况， 计数原理求积 结论③ →所以一共可以传递3×2×1=6种信息. 技有公 646.应用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前仔细分析两点： 限公司 ①要完成的“一件事”是什么； 分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务：分步 ②需要分类还是需要分步. 后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成 每一步的方法数相乘，得到总数。 分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对 注意：一般地，综合应用两个计数原理解决问题时， 每一类进行计数，最后用分类加法计数原理 可以先分类，再对每一类分步计算，分类或分步时都 求和，得到总数 要注意按照统一标准进行】 达一甲教育斗技有限公同 计数原理·理科数学 ·310· 怎么考由0,1P,2,3,4,5,6这7个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ 第1步：千位数字取1,3,5中 第1步：千位数字取2,4,6中 一于教简 的任意一个，共3种情况； 位 位 位 的任意一个，共3种情况； 第2步：个位数字可取0,2， 第2步：个位数字可以取除千 分为两类 4,6中的任意一个，共4 位数字外的任意一个偶数数字， 分为 种情况； 四步 ①千位数字为奇数 共3种情况； 第3步：百位数字不能取与个 ②千位数字为偶数 分为第3步：百位数