15 空间向量与立体几何-2023年老高考理科数学普通高中学业水平等级性考试总复习大纲

云达一甲拔育技有限司 十五空间向量与立体几何 甲教4技有公 北京方达一教 549.空间向量线性运算的意义、运算律，数量积的运算及其性质与平面向量类似. 550.空间向量基本定理说明用三个不共面的已知向量a,b,c可以线性表示出 空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的· 北京宏达一教育技有 551.证明空间三点P,A,B共线的三种方法 ①PA=APB(X∈R): ②对空间任一点O,0P=Oi+tAB(t∈R): ③对空间任一点0,0P=x0A+yOB(x+y=1_) 洋有公 552.证明空间四点P,M,A,B共面的四种方法。 ①MP=xMA+yMi: ②对空间任一点0,0P=0M+xMA+yM正； 北京宏达一发言 ③对空间任一点0,02=x0+y0A+z0i(x+y+z=1) ④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM). 素养拓展尝试根据“对空间中任一点0,0P=x0+yOA+z0B(x+y+z=1)”,证 明P,M,A,B共面 答案：.·x+y+z=1, =O成+x(O成-0)+y(O-0市效首科技有限公 .0p=x0M+y0A+(1-x-y)0B 0B+x BM+y BA 即OP-OB=BP=xBM+yBA, .向量B驴，BM,BA共面. 北京宏江一甲教弯支海限公司 又BF,BM,BA过同一点B, ∴.P,M,A,B共面 运达一铁育斗技海9公司 空间向量与立体几何·理科数学 ·262· 553.建立空间直角坐标系的前提是存在两两垂直的三条直线，故需根据几何 体的结构特征，利用已知垂直关系或构造垂直关系建系.常见的建系方法如下： 利用共顶点且相互垂直的三条棱建系 利用线面垂直建系 C B 执技有限小司 利用线面垂直的性质定 12 理得到线线垂直，建系 34 利用图形中的对称关系建系 庆海斗支会对面面垂直建系 支有限公司 B X 利用面面垂直的性质定理得到线 正棱锥可利用底面中心 面垂直，进而得到线线垂直，建系 及高所在的直线建系 554.求平面a的法向量的基本步骤如下： 例已建立空间直角坐标系如图，且AD=CD=PD=2,求平面PBC的法向量. 第1步 设n=(x,y,z)是平面a的法向量 云达 设平面PBC的法向量为n=(xy,z), 技有公司 第2步》 找出平面内的两个不共线向量a(a,b,c1),b=(a2,b2,2)》 D AD=CD=PD=2,.C(0,2,0),P（0,0,2), 限公司 B(2,2,0),.CB=(2,0,0), CP=(0,-2,2) A B 第3步 根据垂直建立关于x,y,z的方程组 n CB=0, r2x=0, n·a=0,ax+by+c,2=0, n·C乎-0， 即 n…b-0,即ag+b+cg0 .-2y+2z=0 运达一甲教育科技有限公司 空间向量与立体几何·理科数学 ·263- 第4步)》解方程组，取其中一个解，即可得到一个法向量 法向量仅规定方向，所以可把法向量的某个坐标设为1或其他容易求解的量 北京方达一平教育 易知x=0,令y=L,则=1，平面PBC的一个法向量为n=(0,1,1) 555.设直线11,2的方向向量分别为a,b,则41∥l2或4与42重合a∥b台存在实 数t,使a=h;l1⊥l2→⊥b曰a·b=0 甲教育技有狠公司 556.设直线1的方向向量为a,平面的一个法向量为n,,2是与a平行的两个 不共线向量，则直线与平面的位置关系用空间向量表示为： la或lCa一存在两个实数入，u,使 l⊥a台a∥n←台存 a Lvi, a·v,=0, a=y1+uy2台a⊥n曰a·n=0 在实数t,使a=n a⊥2 a·2=0 技有公司 557.设平面u,B的一个法向量分别为n1,n2,y1,2是与α平行的两个不共线向量， 则平面与平面的位置关系用空间向量表示为： aB或a与B重合一∥B且2∥B一存在实 a∥B或a与B重合←台 2·0, → 数入，4，对B内任一向量a,有a=Ay,+uy2 n2⊥2 2 3 4 aB或a与B重合一n1∥n2一存在实数t, a⊥B一nLn,台存在实数入，L,使n,=Av1+u"2 使”1=m,,司 怎么考四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB,AB∥CD,BC⊥AB,AB= 云达 2BC=2CD=2,三棱锥P-ABD的体积为？，证明：平面PAD1平面PBC. 找垂直条件： 护达 ①平面PAB⊥平面ABCD→可作交线的垂线，得到线面垂直 、技有限公 ②PA=PB→等腰三角形，可作高 ③BC⊥AB,AB∥CD 取AB中，点O,连接OP,OD 云达一甲铁育科技有限公司 空间向量与立体几何·理科数学 ·264· 司 OP,OD,AB两两垂直，建立空间直角坐标 系，如图z 甲教技有 平面PAD的一个法向量m= (1,-1,1), 化京宏达