专题26.11 “设参求值”解决反比例函数问题（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题26.11 “设参求值”解决反比例函数问题 （知识讲解） 函数中设参求值问题是中考重要考点，多以填空和选择题形式出现在考卷中，学生刚学习时往往无从下手，为了让学生能掌握其解题方法，粗略理出其基本思路： ①设参数➼➼➼➼表示点坐标➼➼➼➼表示线段长➼➼➼➼找相等关系➼➼➼➼建立方程➼➼➼➼求值； ②设参数➼➼➼➼表示点坐标➼➼➼➼表示线段长➼➼➼➼消参数求值； 在解题过程中，有时还要根据题的实情情况设置多个参数进行解决问题。 本专题汇编了一些典型设参求值，学生通过训练，必将克服学生畏难情绪，提升学生解此类题的自信心。 【典型例题】 类型一、设参数求面积消参数解决问题 1． 如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为（ ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】设P的坐标是 ，推出A的坐标和B的坐标，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可． 解： ∵点P在上， ∴设P的坐标是． ∵PA⊥x轴， ∴A的横坐标是p． ∵A在上， ∴A的坐标是． ∵PB⊥y轴， ∴B的纵坐标是． ∵B在上， ∴，解得：x=﹣2p． ∴B的坐标是（﹣2p，）． ∴． ∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴， ∴PA⊥PB． ∴△PAB的面积是：． 故选C． 举一反三： 【变式1】如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 解：设P（0，b）， ∵直线AB∥x轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b， 而点A在反比例函数y=﹣的图象上， ∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b）， 又∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b）， ∴AB=﹣（﹣）=， ∴S△ABC=•AB•OP=•b=3． 故选A． 【变式2】如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图像交于A点和B点，若C为y轴任意一点．连接AB、BC，则△ABC的面积为_____． 【答案】 【分析】设出点P坐标，分别表示点AB坐标，由题意△ABC面积与△ABO的面积相等，因此只要求出△ABO的面积即可得答案． 解：设点P坐标为（a，0） 则点A坐标为（a，），B点坐标为（a，﹣） = =， 故答案为： 【点拨】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 类型二、设参数建立关于参数的方程解决问题 2． 如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为，列出方程，求解得出答案. 解：把x=1代入得：y=1, ∴A(1,1),把x=2代入得：y=, ∴B(2, ), ∵AC//BD// y轴, ∴C(1,k),D(2,) ∴AC=k-1,BD=-， ∴S△OAC=（k-1）×1, S△ABD= (-)×1, 又∵△OAC与△ABD的面积之和为， ∴（k-1）×1＋ (-)×1=，解得：k=3; 故答案为B. 【点拨】:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键. 举一反三： 【变式1】如图，的顶点在轴正半轴上，反比例函数在第一象限经过点，与交于点，且，若的面积为9，则的值是______． 【答案】12 【分析】作AM⊥OB于M，DN⊥OB于N．设AM＝2m，只要证明S梯形AMND＝S△AOD＝9，由此构建方程即可解决问题． 解：作AM⊥OB于M，DN⊥OB于N，设AM＝2m， ∴OM＝ ∵四边形OACB是平行四边形，BD＝BC， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴k＝12， 故答案为：12． 【点拨】本题考查反比例函数的性质、平行四边形的性质、三角形的面积、梯形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【变式2】如图，点是函数图像上的任意一点，过点作ABx轴，交另一个函数的图像于点． (1) 若，则________． (2) 当时，若点的横坐标是1，则线段________．